Формула полной вероятности и формула Байеса.

Одним из следствий совместного применения теорем сложения и умножения вероятностей являются формулы полной вероятности и Байеса. Напомним, что события образуют полную группу, если .

Теорема. Пусть события образуют полную группу. Тогда для любого, наблюдаемого в опыте, события А имеет место формула полной вероятности.

.

В этой формуле события называют гипотезами; они исчерпывают все возможные предположения (гипотезы) относительно исходов первого этапа опыта, событие А – один из возможных исходов второго этапа.

Пример. В сборочный цех поступает 40% деталей из I цеха и 60% -- из II цеха. В I цехе производится 90% стандартных деталей, а во II – 95%. Найти вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь окажется стандартной.

Взятие детали можно разбить на два этапа. Первый – это выбор цеха. Имеется две гипотезы: -- деталь изготовлена первым цехом, -- II цехом. Второй этап – взятие детали. Событие А – взятая наудачу деталь стандартна. Очевидно, события и образуют полную группу. Р()=0,4, Р()=0,6. Числа 0,9 и 0,95 являются условными вероятностями события А при условии гипотез и соответственно, т.е. =0,9 и =0,95. По формуле полной вероятности находим

.

Р(А)=0,4 0,9+0,6 0,95=0,93.

Следствием формулы полной вероятности является формула Байеса или теорема гипотез. Она позволяет переоценить вероятности гипотез ,принятых до опыта (априорные) и найти послеопытные (апостериорные) условные вероятности .

Теорема. Пусть события образуют полную группу событий. Тогда условная вероятность события при условии, что событие А произошло, задается формулой Байеса: , где -- формула полной вероятности.

Пример. Из предыдущего примера найти вероятность того, что эта стандартная деталь изготовлена II цехом.

Определим вероятность гипотезы при условии, что событие А (взятая деталь стандартна) уже произошло, т.е. . В итоге получим .

Задачи.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: