МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

Для решения задачи 1 и задачи 2 необходимо изучить следующую литературу:

Глава 3, стр. 63-74,

Глава 4, стр. 95-101

Глава 9, § 1-13, стр. 222-251

Теперь рассмотрим применение изученных формул на примерах.

ЗАДАЧА 1.

В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды А₁ В₁ С₁ D₁. Найдите:

а) длину ребра А₁ В₁;

б) косинус угла между векторами ;

в) уравнение ребра А₁ В₁;

г) уравнение грани А₁ В₁ С₁;

д) уравнение высоты, опущенной из вершины D₁ на грань А₁ В₁ С₁;

е) координаты векторов , , , и докажите, что они образуют линейно независимую систему;

ж) координаты вектора , где — середины ребер А₁ D₁ и В₁ С₁ соответственно;

з) разложение вектора по базису если А₁(- 2,2,2), В₁(1, - 3,0), С₁(6,2,4), D₁(5,7, - 1).

Решение.

а) Найдем координаты вектора по формуле

= X_В - X_А ; Y_В - Y_А ; Z_В - Z_А , где (Х_А , Y_А , Z_А ) – координаты точки А_1, (Х_В , Y_В , Z_В ) – координаты точки В₁.

Итак, = Тогда = .

Итак, длина отрезка (или длина вектора ) равна . Это и есть искомая длина ребра.

б) Координаты вектора = уже известны, осталось определить координаты вектора : = .

Угол между векторами и вычислим по формуле cos = ,

где скалярое произведение векторов и равно (, )= 3 ´ 8 + (- 5) ´ 0 + (- 2) ´2 =

= 24 + 0 - 4=20, = , = Итак, cos = = .

в) Координаты точки А₁(- 2,2,2) обозначим соответственно Х₀ = - 2, У₀ = 2, Z₀=2, а координаты точки В₁ (1, - 3,0) через Х₁=1, У₁ = - 3, Z₁=0 и воспользуемся уравнением прямой в пространстве, проходящей через две точки: .

Следовательно, уравнение ребра А₁В₁ имеет вид или

г) Обозначим координаты векторов и через Х₁=3, У₁= - 5, ₁= - 2 и Х₂=8, У₂= 0, ₂=2 соответственно. Векторное произведение данных векторов определяется формулой

Так как данный вектор перпендикулярен грани А₁ В₁ С₁ то можно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через точку (Х₀, У₀, ₀) перпендикулярно вектору , которое имеет вид

А .

Подставим координаты точки А₁ (Х₀= - 2, У₀=2, ₀=2) и координаты перпендикулярного вектора А= - 10, В= - 22, С=40 в это уравнение:

– 10 (Х + 2) - 22 (У - 2) + 40 ( - 2) = 0. Раскроем скобки и приведем подобные члены – 10 х – 22 у + 40z + (- 20 + 44 - 80)=0. Итак, уравнение грани А₁ В₁ С₁ имеет вид: - 10х - 22у + 40 z - 56=0 или

- 5х - 11у + 20 z - 28=0.

д) Вектор является направляющим вектором высоты, опущенной из вершины D ₁ на грань А₁В₁С₁. Воспользуемся уравнением прямой в пространстве, проходящей через точку с заданным направляющим вектором: , где - координаты точки D₁. Отсюда искомое уравнение: или

е) Координаты вектора = = .

Обозначим = , = , .

Чтобы доказать, что векторы образуют линейно независимую систему векторов необходимо убедиться, что определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов,

отличен от 0. Определитель третьего порядка равен

= - + =

=

Вычислим определитель

=3 – (– 5) +(– 2) = 3 (0 (– 3) – 5 2)+5 (8 (– 3) – 7 2) –

- 2 (8 5 – 7 0) =3 (– 10)+5 (– 24 – 14) – 2 40= – 30 – 190 – 80 = – 300.

Так как данный определитель отличен от 0, то вектора образуют линейно независимую систему.

ж) Сначала найдем координаты точек М и N соответственно. Координаты точки

М = = = N = = = .

Получаем вектор = .

з) Обозначим через координаты вектора в базе .

Тогда = = .

Так как = + + ;

= + + = ,

то приравнивая соответствующие координаты, получим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

(1)

Решим данную систему уравнений с помощью формул Крамера (см. глава 10, стр. 268). Рассмотрим произвольную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

(2)

Тогда = z , где

Для системы (1) определитель

=3 – 8 +7 =

= 3 (– 10) – 8 (15 + 10) + 7 (– 10) = – 30 – 200 – 70 = – 300;

= 2 – 8 +7 =

=3 – 2 +7 =

=3

=3 – 8 +2 =

=

По формулам Крамера

Итак, разложение вектора по базису () имеет вид

=

ЗАДАЧА 2.

Решите систему линейных уравнений

а) методом Крамера;

б) методом Гаусса;

в) с помощью обратной матрицы.

Решение.

а) Метод Крамера состоит в решении системы линейных уравнений по формулам Крамера ,

где (Подробности смотрите в пункте з) задачи 1.

Так как ; то

б) решим данную систему уравнений методом Гаусса. Метод Гаусса состоит в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида из которой последовательно, начиная с последнего уравнения легко находят все неизвестные системы.

Составим расширенную матрицу данной системы.

Поменяем местами первую и вторую строки матрицы чтобы в ее левом верхнем углу была единица. Получим матрицу,

Умножим каждый элемент первой строки матрицы на 4 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам второй строки. Матрица примет вид,

=

Умножим каждый элемент первой строки матрицы на – 3, и прибавим полученные числа к соответствующим элементам третьей строки. Получим:

= .

Разделим каждый элемент второй строки матрицы на 4, чтобы второй элемент, стоящий на главной диагонали матрицы, стал равным 1.

.

Умножим каждый элемент второй строки матрицы на – 8 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам третьей строки:

.

Данная матрица соответствует системе уравнений , решение которой совпадает с решением исходной системы. Начиная с последнего уравнения, несложно найти все неизвестные.

Действительно, так как и , то

Отсюда, Из имеем

Ответ: .

в) Решение системы в этом случае равно = , где = – обратная матрица для матрицы = , – столбец свободных членов, – определитель этой матрицы. (Общую запись системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными смотрите в задаче 1, пункт з, система 2).

Составим матрицу состоящую из коэффициентов при неизвестных данной системы:

А = .

Вычислим ее определитель = – 4 – 4 – 6 =

= .

Вычислим алгебраические дополнения для всех элементов матрицы А:

Тогда = = и = =

= = = = .

Отметим, что ответы, полученные при решениями разными методами совпадают между собой.

Ответ:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: