Матрицы. Виды матриц. Транспонирование матриц.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексныхчисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Матрица размера называется квадратной, число называется порядком матрицы.

Пример

- квадратная матрица порядка 2 или матрица второго порядка.

Определение

Матрица называется нулевой, если все её элементы равны нулю, т.е. .

Пример

Определение

Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца, - вектор-столбцом.

Пример

- вектор-строка; - вектор-столбец.

Диагональные матрицы

Определение

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Замечание. Диагональные элементы матрицы (т.е. элементы, стоящие на главной диагонали) могут также равняться нулю.

Пример

Определение

Скалярной называется диагональная матрица , у которой все диагональные элементы равны между собой.

Замечание. Если нулевая матрица является квадратной, то она также является и скалярной.

Пример

Определение

Единичной матрицей называется скалярная матрица порядка , диагональные элементы которой равны 1.

Замечание. Для сокращения записи порядок единичной матрицы можно не писать, тогда единичная матрица обозначается просто .

Пример

- единичная матрица второго порядка.

Треугольные матрицы

Определение

Матрица называется верхней треугольной матрицей, если все элементы ниже главной диагонали равны нулю.

Матрица называется нижней треугольной матрицей, если все элементы выше главной диагонали равны нулю.

Замечание. Диагональная матрица - это пример матрицы, которая является одновременно верхне- и нижнетреугольной.

Пример

- верхнетреугольная матрица.

Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров — матрица размеров , определённая как AT[i, j] = A[j, i].

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: