Рівняння (35) завжди описує пряму лінію.

Алгебраїчним рівнянням другого порядку називається всяке рівняння вигляду

де хоча б один з коефіцієнтів .

Лінії, координати точок яких задовольняють рівняння (36) називаються лініями другого порядку. До ліній другого порядку відносяться: еліпс (зокрема коло), гіпербола, парабола. Вони описуються рівнянням вигляду (36). Однак не кожне рівняння другого порядку завжди описує одну із згаданих ліній. Може, наприклад, вийти так, що рівняння вигляду (36) описує пару прямих ліній або не визначає жодного реального об’єкту.

Приклади.

1. Рівняння описує коло.

2. Рівняння описує параболу.

3. Рівняння розпадається на дві прямі і , що перетинаються.

4. Рівняння , тобто розпадаються на дві паралельні прямі і .

5. Рівняння , тобто розпадається на дві прямі, що збігаються.

6. Рівняння має своїм розв’язком тільки одну точку .

7. Рівняння не описує в області дійсних чисел ніякого геометричного місця точок.

Додамо ще, що при відповідному виборі декартової системи

координат рівняння (36) для кривих другого порядку набувають простий, так званий канонічний вигляд. Далі розглянемо коротко кожну із кривих другого порядку.

Коло

Означення. Колом називається множина точок площини, які знаходяться на відстані R від заданої точки .

Нехай – центр кола, – довільна точка кола. За умовою , а за формулою відстані між двома точками маємо

– рівняння кола радіуса з центром в точці .

Якщо ж центр кола збігається з початком координат, , то отримуємо

-канонічне рівняння кола.

Розкриємо дужки в (37) і зведемо його до вигляду (36)

.

Отже загальне рівняння (36) може описувати коло, якщо а . За цих умов, щоб знайти центр кола і його радіус, потрібно виділити повний квадрат.

Приклад. Знайти центр кола і радіус, якщо

1.

Розв’язання. Згрупуємо відносно і , а тоді виділимо повні квадрати

Отже, центр кола в точці , а радіус . Пропонуємо побудувати це коло.

2.

Розв’язання.

Сумма квадратів в лівій частині рівності не може бути від’ємною.

Дане рівняння не описує кола.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: