ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:

Навчально-методичний комплекс

12 3 4 5 Следующая ⇒

з нормативного курсу «Класична логіка» для студентів філософського

факультету напряму «Політологія»

Київ - 2013

ЗМІСТОВНИЙ МОДУЛЬ 1

ТЕМА: ЛОГІКА ВИСЛОВЛЮВАНЬ.

АЛГЕБРА ЛОГІКИ ВИСЛОВЛЮВАНЬ.

Лекція №1. Загальна характеристика сучасної логіки.

Визначення логіки висловлювань. (2 год.).

Етапи розвитку сучасної логіки. Становлення класичної логіки. Структура класичної логіки: логіка висловлювань і логіка предикатів.

Особливості логіки висловлювань як логічної теорії. Завдання які вирішує логіка висловлювань.

Загальна характеристика алгебри логіки висловлювань. Поняття про мову алгебраїчної системи логіки висловлювань. Структура мови алгебраїчної системи логіки висловлювань: об'єкт-мова та метамова. Вимоги, які повинна задовольняти метамова.

Синтаксис системи S¹: правила утворення (алфавіт і визначення правильно побудованої формули). Семантика системи S¹: правила інтерпретації пропозиційних змінних та пропозиційних зв'язок.

Завдання, які розв'язуються засобами системи S¹.

Лекція № 2. Мова алгебри логіки висловлювань (2 год.)

Алфавіт мови алгебраїчної системи логіки висловлювань (нелогічні символи, логічні символи, технічні символи). Визначення правильно побудованої формули.

Розрізнення формул в системі S¹ за синтаксичними ознаками. Прості та складні формули. Підформула. Степінь формули. Головний логічний знак формули. Розташування дужок у формулі. Сила пропозиційних зв'язок.

Алгоритм виявлення логічної форми висловлювання засобами мови системи S¹.

Семінарське заняття №1 (2 год.)

1. Співвідношення традиційної і сучасної логіки.

2. Загальна характеристика класичної логіки.

3. Визначення логіки висловлювань, її характерні риси, місце у структурі сучасної логіки, та завдання, які вона розв'язує.

4. Мова алгебраїчної системи логіки висловлювань (S¹).

5. Розрізнення формул в системі S¹ за синтаксичними ознаками.

6. Виявлення логічної форми висловлювання засобами мови алгебраїчної системи логіки висловлювань.

Контрольні запитання та вправи

1. Що таке висловлювання?

2. Які завдання вирішує логіка висловлювань?

3. Що таке істиністне значення висловлювання?

4. Чому логіку висловлювань називають двозначною логікою?

5. Яка структура мови алгебраїчної системи логіки висловлювань?

6. Яку мову називають синтаксичною частиною формально-логічної теорії?

7. З чого складаються правила інтерпретації системи S¹?

8. Що таке нелогічні символи та для чого вони призначені?

9. Які логічні символи вам відомі?

10. Як можна відрізнити просту формулу від складної формули?

11. Як визначають степінь формули?

12. У якій послідовності розподіляються пропозіційні зв'язки за ступенем зростання їх сили?

13. Як можна з’ясувати логічну форму конкретного міркування?

14. Визначте, які з наведених нижче виразів є формулами логіки висловлювань.

• p É q Ù; • (p Ú`q) É s;

• Ú q; • (p Ù q) É (`q Ú`p);

• p; • (q É s).

15. Визначте підформули таких формул:

• p É (q É s);

• (p Ù q) É (s Ú`q);

• ((`p Ú q) Ù s) «((`p Ù s) Ú (q Ù s);

• (p Ù q) Ú (`s Ù s).

16. З’ясуйте степінь формули у прикладах завдання 14.

17. Визначте головний логічний знак у прикладах завдання 14.

18. Припустимо, що р (означає) - "Сьогодні ясно", q - "Сьогодні йде дощ", s - "Сьогодні йде сніг", r- "Учора було похмуро". Перекладіть українською мовою такі формули:

• (p Ú`q) É s; • (p Ú q) «(`s Ù p).

• (s Ù q) É (`q Ú`p); • (q É r) Ù p

• p É (q É s); • (p Ú s) É (r Ù `q)

19. З’ясуйте логічну форму таких висловлювань, тобто визначте формули, які їм відповідають.

• "Що неясно уявляєш, те неясно і висловлюєш; неточність і заплутаність виразів свідчить лише про заплутаність думок" (М.Чернишевський).

• Не купуй кота у мішку, якщо тобі не потрібен мішок.

• Хто не хоче щось робити - знаходить засоби, хто не хоче нічого робити - знаходить виправдання.

• Символічна політика є фактором визначення політичних ролей, що особливо важливо в політичному конфлікті та формуванні політики його врегулювання.

• Свобода людини у суспільстві полягає в тому, що вона не підкорюється ніякій іншій законодавчій владі, окрім встановленої за згодою в державі, і не є підлеглою будь-чиїй волі і не обмежена будь-яким законом, за винятком тих, що будуть встановлені цим законодавчим органом відповідно до висловленої йому довіри.

• Давньогрецькі мислителі пов'язували форму державного управління з суспільним життям і умовами суспільного розвитку.

• Поганий початок - поганий кінець.

• Олена і Неллі – подруги або просто живуть поряд.

• Невірно, що якщо я втомився, то не піду до театру.

• Той, хто вміє насолоджуватися життям, не бідніє, а той, хто вміє не обтяжувати себе турботами, не багатіє (Ян Чжу).

• Якщо чотирикутник – паралелограм і не ромб, то його діагоналі не взаємно перпендикулярні.

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА:

[ 1: с.41-45; 2: с.87-92; 4: с.125-126, 305-317; 6: с.13-14, 38-40; 23: с.10 - 12, 32-33; 26: с. 59-60; 44: с. 335, 383-384; 52: с. 65-75.]

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Конспект статей із словника (4 год.)

Філософський енциклопедичний словник. - К., 2002.

- "Класична логіка ";

- "Логіка висловлювань ".

Методичні вказівки

Засвоюючи цю тему студентам необхідно запам’ятати, що мова алгебраїчної системи логіки висловлювань – це спеціальна штучна мова, яка призначена для аналізу складних висловлювань. Позначається вона символом S¹.

Структура мови логіки висловлювань складається із двох компонентів: об’єкт-мови та метамови.

Синтаксис метамови у системі S¹ представлений правилами утворення. Правила утворення включають в себе: алфавіт і визначення правильно побудованої фомули.

Семантика метамови у системі S¹представлена правилами інтерпретації. Які, складаються із:

- правил інтерпретації для пропозиційних змінних і

- правил інтерпретації для пропозиційних зв’язок.

За синтаксичними ознаками формули у S¹ поділяються на:

- елементарні (атомарні) та

- складні (молекулярні).

Наприклад, формули p, q, s, r – є е лементарними, оскільки складаються із однієї пропозиційної змінної, а формули – p Ù q; (p É q)Ú s; (p Ù q) É (q Ú p) – є складними, тому що до їхнього складу поряд із пропозиційними змінними входять знаки логічних сполучників.

Будь-яку складну формулу можна розкласти на підформули. Визначення підформул у складі формули полягає у тому, що:

- спочатку виписують окремо взяті пропозиційні змінні (або елементарні формули);

- потім підформули які мають один логічний сполучник, два, три і останньою підформулою є вся формула.

Наприклад, визначимо підформули такої формули:

(p Ú`q) É (p É (q Ù s)).

Це будуть: p; q; s;`q; (p Ú`q); (q Ù s); (p É (q Ù s); (p Ú`q) É (p É (q Ù s)).

Степінь формули визначається за кількістю логічних сполучників, що входять до складу формули. Наприклад, формула (p Ù`q) має 2–й степінь, оскільки у ній наявні два логічних сполучники (кон’юнкія “ Ù ” і заперечення “ - ”), а формула (p É (`q Ú s)) має 3-й степінь тому, що має три логічних сполучники (імплікацію “ É ”, заперечення “-” і диз’юнкцію “ Ú ”).

Головним логічним знаком формули у S¹ вважається той, який використовується останнім при побудові формули.

Наприклад, у формулі (p Ú q) É s головним логічним знаком буде імплікація “ É ”, а у формулі ((p É q) Ú p) Ù (p É`q) головним логічним знаком буде кон’юнкція “Ù”.

Алгоритм виявлення логічної форми конкретного висловлювання засобами системи S¹:

- спочатку визначають усі прості висловлювання, що входять до структури складного висловлювання і позначають їх відповідними пропозиційними змінними;

- потім виявляють логічні сполучники, які поєднують ці прості висловлювання у структурі складного висловлювання і позначають їх відповідними символами;

- записують формулу даного висловлювання.

Наприклад, з’ясуємо логічну форму такого висловлювання “Залежно від цілей та завдань терористичної діяльності, а також основних об’єктів прагнень терористичних структур, тероризм може виступати у різних формах ”. Це складне висловлювання складається із трьох простих:

1 - “Залежно від цілей терористичної діяльності тероризм може виступати у різних формах”;

2 - “ Залежно від завдань терористичної діяльності тероризм може виступати у різних формах ”;

3 - “Залежно від основних об’єктів прагнень терористичних структур тероризм може виступати у різних формах ”.

Позначимо їх пропозиційними змінними відповідно: 1-ше – p, 2-ге – q, 3-те – s., Логічний сполучник, який пов’язує ці прості висловлювання у структурі складного є кон’юнкція “ Ù ”, якій відповідають такі вирази природної мови: “ та ”, “ а також ”.

Тепер запишемо формулу цього висловлювання: p Ù q Ù s.

Лекція №3. Розрізнення формул у системі S¹ за семантичними

ознаками. (2 год.)

Загальна характеристика семантики алгебраїчної системи логіки висловлювань. Поняття «інтерпретації» у логіці. Правила інтерпретації пропозиційних змінних і правила інтерпретації пропозиційних зв'язок.

Поняття про таблицю істинності. Табличне визначення пропозиційних зв'язок (логічних сполучників). Алгоритм побудови таблиці істинності.

Види правильно побудованих формул у S¹ за семантичними ознаками. Тотожно-істинна формула (логічний закон). Тотожно-хибна формула (логічне протиріччя). Виконувана формула.

Метод аналітичних таблиць.

Семінарське заняття №2 (2 год).

1. Поняття "інтерпретації" у логіці. Правила інтерпретації у системі S¹.

2. Пропозиційні зв'язки (логічні сполучники) та їхнє табличне визначення.

3. Поняття про таблицю істинності. Алгоритм побудови таблиці істинності для конкретної формули.

4. Розрізнення правильно побудованих формул у системі S¹ за семантичними ознаками.

5. Метод аналітичних таблиць.

Контрольні запитання та вправи.

1. Що таке таблиця істинності?

2. Як побудувати таблицю істинності для конкретної формули?

3. Яка правильно побудована формула називається тотожно-істинною (логічним законом)?

4. Чим відрізняється тотожно-хибна формула (логічне протиріччя) від виконуваної формули?

5. Чи зміниться значення істинності імплікативного висловлювання, якщо поміняти місцями його сладники (антецедент і консеквент)?

6. Відомо, що р - істинне. Що можна стверджувати про значення істинності таких імплікацій:

· `p É (q Ú s);

· (`p Ù q) É s;

· (q Ù s) É (p Ú s).

7. Висловлювання “Якщо p, то q” - істинне. При цьому відомо, що р – хибне, а q – істинне. Чи може це висловлювання бути істинною еквіваленцією?

8. Висловлювання “Якщо p, то q” - істинне. Але відомо, що р і q – хибні. Чи можливо визначити чи буде це висловлювання істинною еквіваленцією?

9. Висловлювання р«q – істинне. Що можна стверджувати про істиннісні значення таких висловлювань:

· ` p «q;

· `p «`q.

10. Відомо, що p – істинне, а s– хибне. Не складаючи таблиць істинності визначіть значення істинності таких висловлювань

· p «(q É`s);

· (`p Ú q) «`s;

· (`p Ù q) «(q Ú`q);

· (p Ú q) É (`s «s).

11. Відомо, що р - істинне, as- хибне. Не складаючи таблиць істинності визначіть значення істинності таких висловлювань:

· p «(q É`s);

· (`p Ú q) «`s;

· (`p Ù q) «(q Ú`q);

· (p Ú q) É (`s «s).

12. Відомо, що р – хибне, а s – істинне. Використовуючи тільки цю інформацію визначіть значення істинності наведених висловлювань. Вкажіть приклади, для яких достатньо знати значення тільки однієї пропозиційної змінної р або s.

· p É (q É s);

· (p Ù q Ù s) É s;

· (p Ù q) «(s Ú`q);

· (p Ú q) Ù (s «`s);

· ((`p Ú q) Ù s) «((`p Ù s) Ú (q Ù s));

13. Для кожної із наведених формул визначіть чи достатньо інформації про значення істинності пропозиційних змінних, щоб встановити істиннісне значення усієї формули. Якщо достатньо, то вкажіть це значення. Якщо недостатньо, то вказати, яка додаткова інформація потрібна.

· (p É q) É s, де s – істинне;

· p Ù (q É s), де q – хибне;

· p Ú (q É s), де p – істинне;

· (p Ú q) «(p Ù s), де p – хибне;

· (p Ù q) É (p Ú s), де q – хибне;

· (p É q) «(`q É`p).

14. Із простих вислолювань p, q, і s побудуйте складне висловлювання, яке було б істинним тоді і тільки тоді, коли істинна тільки одна (будь-яка) із складових.

15. Побудуйте таблиці істинності для таких формул:

· (p Ú q) «(q Ú p); · (p É`p) «p;

· (p É q) É (q É p); · (p É q) «((p Ù r) É (q Ù r));

· ((p É q) Ù (q É p)) «(p «q); · ((p É q) É p) É (`p É p);

· (p Ù q) É (p Ú s); · (p É (q Ú r)) «((p Ù`q) É r);

· (p É q) É ((p É s) É (p É (q Ù s))); · (((p É q) É p) Ù (p Ú q));

· ((p Ù`q)«`r) «((`p Ú r) É q); · ((p É q) Ú (q É p)).

16. Визначте види формули логіки висловлювань

((((p Ú q) Ù`r) É`q) «p)

при таких значеннях істинності пропопозиційних змінних:

· р– істинне, q – хибне, r – хибне;

· р - хибне, q – хибне, r – хибне;

· р – хибне, q – істинне, r – хибне.

17. Визначте значення істинності висловлювань якщо відомо, що р – істинне, а r - хибне.

· p «(q É`r); · (`p Ú q) «`r;

· (`p Ù q) «(q Ú`q); · (p Ú q) É (`r «r).

18. Відомо, що р –хибне, r – істинне. Використовуючи тільки цю інформацію, визначіть значення істинності наведених висловлювань. Вкажіть приклади для яких достатньо знати значення лише однієї пропозиційної змінної – р або r:

· p É (q É r); · (p Ù q Ù r) É r;

· (p Ù q) «(r Ú`q); · (p Ú q) Ù (r «`r);

· ((`p Ú q) Ù r) «((`p Ù r) Ú (q Ù r)).

19. Визначте значення істинності таких висловлювань, якщо відомо, що р – хибне, q – істинне, r – істинне:

· p É (q É r); · (p Ù q) É r;

· p É (q Ù r); · (p Ù q)«(r Ú`q).

20. Визначте тип формул за семантичними ознаками:

· (((p É q) É p) É q); · ((`p Ù q) Ù (p Ú r));

· (p «q) É (p É q); · ((p Ù q) «(`p Ù`q));

· (p É q) É ((q É p) É (p «q)); · ((p Ù q) «(`p Ú`q));

· (p É q) É (q É p); · ((p Ú q) «(`p Ú`q));

· (`p É q) É (`q É p); · ((p Ú q) «(`p Ù`q));

· (p É`q) É (q É`p); · (p É q) «(q É p);

· ((p É q) Ú (p É r)) É (p É (q Ú r)); · (p É q) «(`p É`q);

· ((p É q) É [(q É p) É ((p Ù q) É q)]); · (p É q) «(`q É`p);

· [p É (q É r)] É [(p É q) É (p É r)]; · ((p É q) Ù (q É r)) É (p É r).

· (((p É q) Ù (p É r)) É (p É (q Ù r)));

21. Доведіть, що наведені формули є тавтологіями:

· p É p; · (p Ù`p);

· p Ú`p; · (p É q) É ((p Ú r) É (q Ú r));

· (p É q) É (`q É`p); · (p É q) É ((q É r) É (p É r));

· p É (q É p); · (`p É p) É p;

· `p É (p É q); · ((`p É (q Ù`q)) É p);

· p É (p Ú q); · (((p Ú q) «q) «(p É q));

22. Побудуйте аналітичні таблиці для таких формул:

• (p É`q) É (q É`p); · (p É q) «(q É p);

• ((p É q) Ú (p É r)) É (p É (q Ú r)); · (p É q) «(`p É`q);

• ((p É q) É [(q É p) É ((p Ù q) É q)]);

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА:

[ 1: с.46-54; 2: с.97-101; 4: 317-327; 6: с. 53-63; 23: с. 14-15, 20-25; 26: с. 63-69; 44: с. 335, 383-384; 52: с. 65-75.]

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

(6 год.)

Довести, що наведені формули є тавтологіями:

· (p Ù q) É p; · (((p Ù q) «q) «(q É p));

· (p É q) É ((p Ù r) É (q Ù r)); · (((p Ù q) É r) «(p É (q É r))).

Методичні вказівки

Вивчаючи цю тему студентам необхідно мати на увазі, що для того щоб система набула смислу, стала мовою, описом певних об’єктів, властивостей і відношень між ними, необхідно надати їй інтерпретацію.

Правила інтерпретації семантики метамови в системі S¹ включають у себе два види правил:

- правило інтерпретації пропозиційних змінних;

- правило інтерпретації пропозиційних зв’язок (логічних сполучників).

Правило інтерпретації пропозиційних змінних є функцією приписування окремій пропозиційній змінній одного з двох логічних значень: “ істина ” або “ хиба ”.

Правилами інтерпретації пропозиційних зв’язок є визначення умов їх істинності (тобто, таблиці істинності).

Таблиці істинності для логічних сполучників мають такий вигляд:

№ p q ` `p `q p Ù q p Ú q p Ú q p É q p«q

1. і і х х і і х і і

2. і х х і х і і х х

3. х і і х х і і і х

4. х х і і х х х і і

Використовуючи таблиці істинності для логічних сполучників можна побудувати такі самі таблиці для будь-якої формули логіки висловлювань, до складу якої входить декілька логічних сполучників.

Алгоритмпобудови таблиці істинності для певної формули А такий:

- У складі певної формули А виділяють усі підформули (починаючи від елементарної під формули, потім під формули, яка має один логічний сполучник, два, три і в останньому стовпчику таблиці істинності записують досліджувану формулу). Кожна підформула розпочинає новий стовпчик таблиці.

- У рядки вписуються усі можливі набори логічних значень пропозиційних змінних (простих підформул). Значення пропозиційних змінних (простих підформул) обчислюються за формулою 2 ⁿ (де 2 означає кількість логічних значень, які приписуються пропозиційним змінним “істину” або”хибу”, а n – кількість пропозиційних змінних, що входять до складу формули).

- При обчисленні значень складних підформул використовуються таблиці істинності для логічних сполучників ( -, Ù, Ú, Ú, É, «). Причому спочатку визначаються значення підформул до складу яких входить один логічний сполучник, а потім підформул, до складу яких входять двалогічних сполучники, три тощо. В кінці обчислюється значення підформули з максимальною кількістю логічних сполучників, тобто значення самої досліджуваної формули А.

Наприклад, побудуємо таблицю істинності для формули:

(p É q) É (`q É p).

Виділимо усі підформули, що входять до структури цієї формули:

p, q,`q, (p É q), (`q É p), (p É q) É (`q É p).

Кожна із цих підформул буде розпочинати новий стовпчик таблиці істинності.

№ p q `q p É q `q É p (p É q) É (`q É p)

До складу досліджуваної формули входять лише дві пропозиційні змінні, які є простими підформулами p i q. У зв’язку з цим кількість рядків у таблиці істинності буде 2² = 4,

- тобто p i q можуть бути одночасно істинними { i, i };

- p може бути істиним, а q – хибним { i, x };

- може бути навпаки p –хибним, а q - істинним { x, i };

- і нарешті, p i q можуть бути одночасно хибними { x, x }.

Визначимо тепер таблицю істинності цієї формули відповідно до алгоритму:

№ p q `q p É q `q É p (p É q) É (`q É p)

1. і і х і і і

2. і х і х і і

3. х і х і і і

4. х х і і х х

У першому та другому стовпчиках таблиці наведені усі можливі набори логічних значень двох пропозиційних змінних p i q, що входять до складу досліджуваної формули.

Значення ` q встановлюється відповідно до значень q за визначенням пропозиційної зв’язки “ заперечення ”.

Значення p É q встановлюється відповідно до значень p i q за табличним визначенням логічного сполучника “ імплікація ”.

Значення `q É p встановлюється відповідно до значень `q і p за табличним визначенням логічного сполучника “ імплікація ”.

І, нарешті, значення (p É q) É (`q É p) встанолюється відповідно до значень p É q і `q É p за табличним визначенням логічного сполучника “ імплікація ”.

Також студентам треба знати, що за семантичними ознаками правильно побудовані формули в системі S¹ поділяються на:

- тотожно-істинні формули (або тавтології, або логічні закони, або загальнозначимі формули);

- тотожно-хибні формули (або протиріччя, або незагальнозначимі формули);

- виконувані формули (або фактично істинні).

Визначення статусу формули в алгебраїчній системі логіки висловлювань здійснюється за допомогою таблиць істинності.

Наприклад, визначимо до якого типу формули логіки висловлювань належить така формула: p É (q É p)

Для цього побудуємо для неї таблицю істинності.

№ p q q É p p É (q É p)

1. і і і і

2. і х і і

3. х і х і

4. х х і і

У останньому стовпчику таблиці істинності формула p É (q É p) має лише логічні значення “ істина ”, тобто це тотожно-істинна формула, яка буде істинною при будь-яких наборах значень пропозиційних змінних.

З’ясуємо тип ще однієї формули:

` p Ù (`p Ú q).

№ p q `p `p Ú q `p Ú q `p Ù (`p Ú q)

1. і і х і х х

2. і х х х і х

3. х і і і х х

4. х х і і х х

Останній стовпчик таблиці істинності для цієї формули має лише логічні значення “ хиба ”, а це означає, що наведена формула є тотожно-хибною, оскільки при будь-яких наборах значень пропозиційних змінних вона є хибною.

Визначимо тип такої формули:

p Ù (q É r)

№ p q r q É r p Ù (q É r)

1. і і і і і

2. і і х х х

3. і х і і і

4. і х х і і

5. х і і і х

6. х і х х х

7. х х і і х

8. х х х і х

Якщо подивитися на останній стовпчик таблиці істинності цієї формули, то стає очевидним, що при одних наборах значень пропозиційних змінних формула є істинною, а при інших – хибною. Тобто, ця формула є виконуваною.

Студенти повинні мати на увазі, що метод аналітичних таблиць на відміну від методу таблиць істинності, робить перевірку статусу формули значно менш громізкою.

Аналітична таблиця для певної формули будується на основі застосування аналітичних правил, для формування яких вводяться спеціальні символи T і F, які означають відповідно “ істина ” (від англійського слова “truth ”) i “ хиба ” (від англійського слова “ false ”). Ці символи називаються індексами.

Формула перед якою стоїть один із цих індексів називається індексованою. Індекс відноситься до всієї формули незалежно від того, виражає вона просте чи складне висловлювання.

Аналітичні правила.

TÙ TA Ù B FÙ FA Ù B

TA, TB FA FB

TÚ TA Ú B FÚ FA Ú B

TA TB FA, FB

TÉ TA É B FÉ FA É B

FA TB TA, FB

T«TA «B F«FA «B

12 3 4 5 Следующая ⇒

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных