Модульна контрольна робота. Лекцій №10. Мова алгебраїчної системи логіки предикатів.

⇐ Предыдущая 1 2 3 45

ТЕМА: ЛОГІКА ПРЕДИКАТІВ.

АЛГЕБРАЇЧНА СИСТЕМА ЛОГІКИ ПРЕДИКАТІВ.

Лекцій №10. Мова алгебраїчної системи логіки предикатів.

Семантика системи S⁴ (2 год.)

Недостатність виразних можливостей логіки висловлювань. Логіка предикатів як розширення логіки висловлювань.

Мова алгебраїчної ситеми логіки предикатів. Синтаксис метамови S⁴: список вихідних символів, правила утворення термінів, правила утворення формул.

Вихідні символи (предметні змінні, предметні константи, предикатні символи, знаки предметних функцій, логічні терміни, технічні знаки).

Дефініція терму. Дефініція формули. Область дії квантора. Поняття "зв'язаної змінної" (фіктивної) і "вільної змінної". Конгруентні формули.

Правило перейменування зв'язаних змінних. "Замкнена формула", "замкнений терм".

Сутність першопорядкової логіки предикатів. Характерні ознаки першопорядкової логіки. Прикладна першопорядкова мова логіки предикатів.

Семантика алгебраїчної системи логіки предикатів. Область інтерпретації. Роль інтерпретаційної функції.

Дефініція інтерпретації предметної константи. Дефініція інтерпретації предикаторної константи. Дефініція інтерпретації предметно-функціональної константи. Поняття моделі. Процедура визначення значення терму в конкретній моделі і при конкретному приписуванні значень предметним змінним.

Семінарське заняття №10 (2 год.)

1. Загальна характеристика логіки предикатів.

2. Мова алгебраїчної системи логіки предикатів.

3. Область дії квантора. Зв'язані і вільні входження змінної до формули.

4. Семантика алгебраїчної системи логіки предикатів.

5. Процедури встановлення значення довільного терму t у деякій моделі <U, I> при деякому приписуванні значень предметним змінним φ.

Контрольні запитання та вправи

1. Які характерні ознаки має логіка предикатів?

2. З чого складається синтаксис метамови S⁴?

3. Що таке терм?

4. Яка індивідна змінна, що входить до області дії квантора називається зв'язаною?

5. Що таке інтерпретація предметної константи?

6. Що таке інтерпретація предикатної константи?

7. Що таке модель?

8. Перекладіть на мову логіки предикатів такі висловлюваня природної

мови:

• Максим - політолог.

• Батько Івана не є пенсіонером.

• Сашко вивчає логіку.

• Хтось є депутатом.

• Хтось не вивчає логіку.

• Хтось не любить нікого.

• Деякі політологи - аналітики.

• Усі політологи - аналітики.

• Жоден слон не літає.

• Деякі люди знають історію.

• Жодна людина не є безсмертною

• Будь-який юнак любить якусь дівчину.

9. Визначіть область дії кванторів і вказажіть вільні та зв'язані входження кожної змінної, що зустрічаються в таких формулах:

· "х Р (х) É Р(у);

· "х (Р (х) É Q (у)) Ú $у R(х, у);

· (Р (х) Ù Q (а)) É $х $у R(х, у, а).

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА:

[1: с.78-92; 2: с. 132-138; 4: с. 367-380; 5: с. 120-132, 322-325; 6: с. 104- 116; 18: с.170-175; 26: с. 127-135; 29: с.123-132; 44: с.228, 337;.]

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

(4 год.)

Конспект статей із словника

Філософський енциклопедичний словник. - К, 2002.

- "Змінна в логіці";

-"Логіка предикатів".

Методичні вказівки

Вивчаючи цю тему студентам необхідно зосередити свою увагу на тому, що логіка предикатів – це розділ сучасної (класичної) логіки, де описуються умовиводи, в яких враховується внутрішня структура простих висловлювань, що їх складають. Логіка предикатів – це розширений варіант логіки висловлювань. Позначається ця логічна теорія символом S⁴.

Засобами логіки предикатів або системи S⁴ здійснюється:

- розрізнення формул за синтаксичними і семантичними ознаками,

- систематизуються закони логіки предикатів,

- визначаються основні види логічних відношень між формулами,

- описується процедура розв’язання.

Мова логіки предикатів – це штучна мова, яка призначена для аналізу логічної структури простих висловлювань. Вона характеризується списком знакових засобів, які використовуються у цій логічній теорії (алфавітом) і визначенням правильно побудованих виразів (ППВ). У логіці предикатів такими виразами є терми і формули.

Визначення вихідного символу, терму і формули вважаються рекурсивними. Це означає, що існує чіткий спосіб, за допомогою якого завжди можна встановити, чи є даний символ вихідним, чи термом, чи формулою.

Студентам також необхідно розрізняти поняття «зв’язана змінна» та «вільна змінна».

У формулах виду "aА і $aА формула А називається областю дії квантора (відповідно $ або ") по змінній a.

Наприклад, у формулі "x (S(x) ® P(x)) областю дії квантора " по змінній х є формула (S(x) ® P(x)).

У формулі $x ($у Р(у) ® P(x)) областю дії квантора $ по змінній х є формула ($у Р(у) ® P(x)), а областю дії квантора по змінній у є формула Р(у).

Кожний випадок, коли у деякій формулі А зустрічається предметна змінна a, називається входженням змінної a до формули А.

Змінна може мати вільне або зв’язане входження до формули.

Входження змінної a до формули А називається зв’язаним якщо:

1. a є змінною квантора, який входить до цієї формули;

2. a знаходиться в області дії квантора який входить до цієї формули.

Якщо умови, які зазначені у цих пунктах не виконуються, тоді входження a до формули А називається вільним.

Наприклад, у формулі Р(х,у) ® "х Р(х) перше входження х є вільним, друге і третє зв’язаним.

У формулі "х (Р(х,у)® "х Р(х)) перше третє і четверте входження х є зв’язаним, а інші входження змінних х і у є вільними.

Змінна називається вільною (зв’язаною) змінною у формулі А, якщо існують вільні (зв’язані) її входження у цю формулу.

Відповідно до цього визначення змінна може бути одночасно вільною і зв’язаною в одній і тій самій формулі.

Наприклад, у формулі $у `Р(х,у) ® Q(у,х).

Якщо жодна предметна змінна не є вільною у формулі А, то формула називається замкненою.

Справжніми є тільки вільні змінні. Зв’язані змінні називаються фіктивними. У загальному розумінні змінна – це те, замість чого можна підставити одне із його значень і отримати осмислене висловлювання.

Наприклад, якщо а є одним із значень змінної х і Р(х) має смисл, то Р(а) також матиме смисл. Відповідно до цього і "х Р(х) має смисл, а от вираз - "х Р(а) смислу не має. Цим самим підкреслюється фіктивний характер входження х до формули "х Р(х) і "у Р(у) вони означають одне і те саме «Всі х мають властивість Р», різняться вони лише фіктивними змінними.

Система S⁴ є мовою перешопорядкової логіки предикатів. Це означає, що в даній мові дозволяється зв’язувати кванторами тільки предметні змінні, тобто такі змінні, можливими значеннями яких є предмети (індивіди).

Мову логіки предикатів можна збагатити, якщо дозволити квантифікувати, тобто зв’язувати кванторами інші типи змінних: предметно-функціональні, які пробігають множиною предметніх функцій, і предикатні, які приймають значення на множині властивостей і відношень.

Зв цих умов можна отримати розширену мову логіки предикатів. За допомогою теорій подібного типу стає можливим проводити більш досконалий аналіз контекстів природної мови виявляти такі логічні форми висловлювань, які в першопорядковій мові були невиражальними.

Наприклад, висловлювання «Деякі властивості Землі притаманні Марсу» другопорядковою мовою логіки предикатів можна записати так:

$Р (Р(а) Ù Р(b)), де

$ - знак квантора існування;

Р – предикатна змінна, яка пробігає областю властивостей;

а – предметна константа, яка відповідає імені «Земля»;

b – предметна константа, яка відповідає імені «Марс».

Тобто, у цій формулі проводиться вже квантифікація не за предметними, а за предикатними змінними.

Стосовно семантики S⁴ у логіці предикатів процедурі інтерпретації нелогічних термінів передує вибір деякої не порожньої множини, яка називається областю інтерпретації або універсумом розгляду.

Єдина умова, яка ставиться до області інтерпретації (позначається символом U) – це непорожність U (тобто наявність хоча б одного елемента).

Приписування значень нелогічним константам у S⁴ відбувається за допомогою спеціальної семантичної функції, яка називається інтерпретаційна функція і позначається символом І.

Роль функції І полягає у співставленні кожній нелогічній константі деякого об’єкта, який заданий на області інтерпретації U. Причому константам різного виду повинні співставлятися об’єкти різних типів.

Функція І задається так, що значення предметних констант виявляється однотипним із значенням імен, значення предметно-функціональних констант – зі значеннями предметних функторів, значення предикат орних констант – зі значеннями предикаторів.

Наприклад, якщо U – множина космічних об’єктів, то функція І може приписати в якості значення предметній константі а такий індивід, як «Марс», а константі в – «Венера» або який- небудь інший індивід.

Пару <U,I>, яка задає припустиму в S⁴ інтерпретацію нелогічних констант називають моделлю.

Моделлю називається будь яка пара <U,I>, така, що U – не порожня множина, а I- функція, що задовольняє таким умовам:

1. I (k) Î U.

2. I (Пⁿ) Í Uⁿ.

3. I (Фⁿ) є n – містка операція, яка задана на U (де k – довільна предметна константа), П – довільна n – містка предикат орна константа, Ф – довільна n – містка предметно-функціональна константа.

Лекція № 11. Процедури встановлення значень формулам в S⁴.

Види формул за семантичними ознаками (2 год.)

Елементарні формули, дефініція умов істинності і хибності елементарних формул.

Дефініція умов істинності і хибності формул, головним знаком яких є пропозиційна зв'язка. Дефініція істинності і хибності формул, головним знаком яких є квантор.

Розрізнення формул у S⁴ за семантичними ознаками (закони класичної логіки предикатів, виконувані формули класичної логіки предикатів, невиконувані формули класичної логіки предикатів). Дефініція логічного закону. Дефініція незагальнозначимої формули. Дефініція виконуваної формули. Дефініція невиконуваної формули.

Семінарське заняття № 11 (2 год.)

1. Процедури встановлення значень формулам у S⁴.

2. Розрізнення формул у алгебраїчній системі логіки предикатів за семантичними ознаками.

- дефініція логічного закону;

- дефініція незагальнозначимої формули;

- дефініція виконуваної формули;

- дефініція невиконуваної формули.

Контрольні запитання

1. Як встановлюється значення формули Пⁿ (t₁, t₂, … t_n) в моделі <U, I> при приписуванні φ?

2. Назвіть умови істинності і хибності формул, де головним знаком є пропозиційна змінна?

3. Назвіть умови істинності і хибності формул, де головним знаком є квантор?

4. Як розріняють формули в S⁴ за семантичними ознаками?

5. Що таке логічний закон в S⁴?

6. Як визначається в S⁴ незагальнозначима формула?

7. Яка формула в S⁴ називається виконуваною?

8. Що таке не виконувана формула в S⁴?

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА:

[1: с.93-124; 2: с.138-151; 4: с. 377-382; 5: с.132-137,152-161,325-328; 6: с. 104-116; 18: с.104-132; 26: с. 127-152; 29: с. 132-135.]

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

(5 год.)

Придумати два висловлювання, які мали б таку форму

"x $у (R(x,y)) і $у "x (R (х,у))

так щоб:

1) обидва вони були істинними;

2) обидва вони були хибними;

3) перше було хибним, а друге - істинним.

⇐ Предыдущая 1 2 3 45

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных