Тригонометрическая форма комплексных чисел

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Если на плоскости выбрать прямоугольную систему координат Оху, то каждое комплексное число можно изобразить точкой с координатами а и b. Всякое комплексное число z может быть представлено в тригонометрической форме .

Число r является модулем, а угол - аргументом комплексного числа z.

Если , то . (1.7).

Модуль комплексного числа z обозначается еще |z|, а аргумент – arg z. Для модулей двух произвольных комплексных чисел справедливы неравенства

Комплексные числа и (заданные в тригонометрической форме) умножаются и делятся соответственно по формулам

Возведение комплексного числа в целую положительную степень осуществляется по формуле:

(1.10).

Равенство называется формулой Муавра.

Извлечение корня n -й степени из комплексного числа , дает n различных значений, которые можно найти по формуле

, (1.11)

где .

В частности, , .

На комплексной плоскости эти точки находятся в вершинах правильного многоугольника, с центром в точке (0; 0), одна из вершин этого многоугольника находится в точке (1; 0).

Пример 1.8. Записать комплексное число в тригонометрической форме.

Решение. Построим данное число на комплексной плоскости (см. рис.).

Модуль (радиус-вектор) комплексного числа:

Его аргумент (угол наклона радиус-вектора к оси x) равен:

.

Знак «минус» обусловлен тем, что конец радиус-вектора находится в четвертой четверти комплексной плоскости.

В тригонометрической форме комплексное число записывается в виде:

.

Следовательно, заданное число запишется в виде

.

Пример 1.9. Даны два комплексных числа в тригонометрической форме: . Записать их произведение и частное от деления первого числа на второе.

Решение.

Пример 1.10. Дано комплексное число в алгебраической форме:

а) перевестиего в тригонометрическую форму;

б) возвести в четвертую степень;

в) извлечь корень третьей степени.

Решение.

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: