ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Определенный интеграл и его свойстваМногие задачи естествознания и техники получили решение благодаря одному из основных понятий математического анализа - определенному интегралу. Нахождение площадей, ограниченных кривыми, длин дуг, объемов, работы, пути, скорости, моментов инерции и т. д., сводится к его вычислению. Рассмотрим задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
Задача о массе прямолинейного стержня. Дан тонкий стержень длины , его масса распределена неравномерно с плотностью . Найти массу всего стержня. Решение. Разберем условие задачи. Под тонким стержнем мы будем понимать отрезок прямой, ограниченный точками и числовой оси . Плотность вещества стержня в данной точке есть предел средней плотности , где - масса отрезка , при стремлении к нулю. Требуется найти массу стержня. Решение Так как плотность распределена неравномерно, то для наиболее точного ее нахождения разобьем весь стержень точками на достаточно малых частей (см. рис.) Обозначим длину отрезка через . В силу того, что длины отрезков малы, в границах каждого из них плотность стержня можно считать постоянной и равной , где - одна из точек k-го отрезка . Тогда масса этого отрезка стержня равна . Масса всего стержня приближенно равна: . При стремлении к нулю, эта сумма становится равной , то есть Задача о площади криволинейной трапеции. Дана плоская фигура, ограниченная графиком функции и отрезками прямых . Функция определена, не прерывна и неотрицательна в промежутке [а, b]. Вычислить площадь S полученной фигуры (аАВb), называемой криволинейной трапецией. Решение. Для того чтобы вычислить искомую площадь, разобьем промежуток [а, b] на n произвольных частей: , длины которых обозначим соответственно . Через каждую точку деления проведем прямую, параллельную оси ординат. Эти прямые разделят данную фигуру на n полос. Заменим каждую из этих полос прямоугольником, основание которого то же, что у полосы, а высота совпадает с одной из ординат точек графика функции в этой полосе. Обобщим рассуждения, проведенные при решении двух предыдущих задач о массе прямолинейного стержня и о площади криволинейной трапеции. Пусть некоторая функция задана на промежутке [а, b] и непрерывна. При разбиении промежутка [а, b] на n частей, таким образом, что максимальная длина отрезков разбиения стремится к нулю при ) обе задачи свелись к составлению суммы , где , число слагаемых которой неограниченно растет, а каждое слагаемое стремится к нулю. Эта сумма называется интегральной суммой. Определение. Предел называют определенным интегралом от функции на промежутке [ а, b ] и обозначают т. е. (3.7) Число называется нижним пределом интеграла, b - верхним. Промежуток [ а, b ] называется промежутком интегрирования, х - переменной интегрирования.
Теорема. Определенный интеграл функции , непрерывной на промежутке [а, b], равен разности значений любой ее первообразной в точках b и а (3.8) : Правая часть формулы часто записывается как Формула (3.8) получила название формулы Ньютона-Лейбница. Чтобы вычислить определенный интеграл, достаточно найти неопределенный интеграл и в полученное выражение подставить вместо переменной x; сначала верхний предел b, а затем нижний а и из первого результата вычесть второй.
Пример 3.10. Вычислить Решение. Находим неопределенный интеграл: Найдя значение сначала при , а затем при , вычислим разность:
Пример 3.11. Вычислить Решение. При формулировке свойств определенных интегралов использовали источник [5] и исходили из предположения, что функции заданы и дифференцируемы на промежутке [ a, b ] 1) , (3.9) т. е. интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых. 2) , (3.10) где – константа; т. е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграл. 3) Пусть f (x) непрерывна на промежутке [ a, b ]. Если этот промежуток точкой c разложен на части [ a, c ] и [ c, b ], то интеграл по всему промежутку оказывается равным сумме интегралов по его частям, т. е. (3.11), 4) Если f (x) - любая функция, то: , (3.12) т.е. интеграл с совпадающими нижним и верхним пределами равен нулю. 5) , (3.13) то есть перемена мест пределов интегрирования приводит к изменению знака интеграла на противоположный. 6) Если f (x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [ a, b ], то существует такая точка , что (3.14) 7) Если f (x) - неотрицательная непрерывная функция и нижний предел интеграла не больше верхнего, то и сам интеграл будет числом неотрицательным . (3.15) 9) Если a ≤ b, а f (x) и u · g (x) - две непрерывные функции, которые на [ a, b ] удовлетворяют условию f (x) ≤ g (x), то (3. 16)
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|