ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Ответ: т.к. , данные прямые параллельны.МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ _
Кафедра высшей математики
Векторная алгебра и аналитическая геометрия
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ И ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНОГО ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ
Москва 2007
С о с т а в и т е л и:
доцент, кандидат физико-математических наукТ.А.Мацеевич
Примеры решения задач по векторной алгебре и аналитической геометрии Задание №1 Разложить вектор = {9, 4} по векторам = {2, -3} и = {1, 2}. Решение. Найдем коэффициенты и в разложении: = + . Запишем эту формулу в координатах. Сначала вычислим координаты правой части: + = {2 ; -3 } + {1 ; 2 } = {2 + ; -3 + 2 }. Эти координаты должны равняться соответствующим координатам вектора , следовательно: . Решим эту систему уравнений методом исключения переменных.
Ответ: = 2 + 5 . Задание №2 Проверить коллинеарность векторов = {2, -1, 3} и = {-6, 3, -9}. Решение. Если векторы и коллинеарны, то их координаты должны быть пропорциональны. Проверим это. , т.е коэффициент пропорциональности существует и равен . Ответ: II. Задание №3 Дан вектор = {2, -1, 3}. Найти модуль вектора , координаты его орта и направляющие косинусы. Решение. а) Найдем модуль вектора : . б) Найдем координаты орта : = . в) Найдем направляющие косинусы вектора : ; ; . Ответ:,,,,. Задание №4 Проверить ортогональность векторов = {-6, -3, 2} и = {1, 2, 6}. Решение. Если , то их скалярное произведение . Найдем . . Ответ:. Задание №5 Найти угол между векторами = {3, 0, 4} и = {7, 0, 1}. Решение. Пусть - угол между векторами и . Тогда . Найдем скалярное произведение: . Найдем модули векторов и : ; . Найдем : . Тогда . Ответ:. Задание №6 Найти вектор , перпендикулярный векторам = {2, -2, -3} и = {4, 0, 6}. Решение. Так как и , то (векторное произведение векторов и ). {-12, -24, 8}. Ответ: {-12, -24, 8}. Задание №7 Вычислить площадь параллелограмма ABDC и треугольника ABC, если А (0, 2, 2), B (1, -2, 3), C (-1, 2, 1), D (0, -2, 2). Решение. Найдем векторы и : = { 1, -4, 1}, = {-1, 0, -1}. Найдем векторное произведение полученных векторов: ={4, 0, -4}. Найдем длину полученного вектора . Найдем площадь параллелограмма ABDC: . Найдем площадь треугольника ABC: . Ответ:,. Задание №8 Найти объем пирамиды, вершины которой находятся в точках A(2, -1, 1), B(5, 5, 4), C(3, 2, -1), D(4, 1, 3). Решение. Найдем координаты векторов , , : {3, 6, 3}, = {1, 3, -2}, = {2, 2, 2}. Вычислим смешанное произведение этих векторов: Найдем объем пирамиды: . Ответ:. Задание №9 Проверить компланарность векторов = {2, 3, -1}, = {1, -1, 3} и = {1, 9, -11}. Решение. Вычислим смешанное произведение векторов , и : Так как , следовательно, векторы , и - компланарны. Ответ: , и - компланарны. Задание №10 Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки (3; 1) и (5; 4). Решение. Подставляя данные координаты точек и в формулу , получаем искомое уравнение прямой , , , . Ответ:. Задание №11 Две прямые заданы уравнениями и . Найти угол между этими прямыми. Решение. Угловые коэффициенты данных прямых: . Поэтому по формуле , находим . Таким образом, угол между данными прямыми равен . Ответ:. Задание №12 Показать, что прямые и параллельны. Решение. При приведении уравнения каждой прямой к виду получаем: или ; и или . Откуда видно, что угловые коэффициенты . Следовательно, прямые параллельны. Ответ: т.к., данные прямые параллельны. Задание №13 Показать, что прямые и перпендикулярны. Решение. Приведя уравнения каждой прямой к виду получаем: или , где - угловой коэффициент, и или , где - угловой коэффициент. Откуда видно, что угловые коэффициенты . Следовательно, прямые перпендикулярны. Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|