Ответ: т.к. , данные прямые параллельны.

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

_

Кафедра высшей математики

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ И

ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНОГО ЗАДАНИЯ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ

Москва 2007

С о с т а в и т е л и:

доцент, кандидат физико-математических наукТ.А.Мацеевич

Примеры решения задач по векторной алгебре и аналитической геометрии

Задание №1

Разложить вектор = {9, 4} по векторам = {2, -3} и = {1, 2}.

Решение.

Найдем коэффициенты и в разложении: = + .

Запишем эту формулу в координатах. Сначала вычислим координаты правой части:

+ = {2 ; -3 } + {1 ; 2 } = {2 + ; -3 + 2 }.

Эти координаты должны равняться соответствующим координатам вектора , следовательно: .

Решим эту систему уравнений методом исключения переменных.

Ответ: = 2 + 5 .

Задание №2

Проверить коллинеарность векторов = {2, -1, 3} и = {-6, 3, -9}.

Решение.

Если векторы и коллинеарны, то их координаты должны быть пропорциональны. Проверим это.

, т.е коэффициент пропорциональности существует и равен .

Ответ: II.

Задание №3

Дан вектор = {2, -1, 3}. Найти модуль вектора , координаты его орта и направляющие косинусы.

Решение.

а) Найдем модуль вектора :

.

б) Найдем координаты орта :

= .

в) Найдем направляющие косинусы вектора :

;

;

.

Ответ:,,,,.

Задание №4

Проверить ортогональность векторов = {-6, -3, 2} и = {1, 2, 6}.

Решение.

Если , то их скалярное произведение . Найдем .

.

Ответ:.

Задание №5

Найти угол между векторами = {3, 0, 4} и = {7, 0, 1}.

Решение.

Пусть - угол между векторами и . Тогда

.

Найдем скалярное произведение:

.

Найдем модули векторов и :

;

.

Найдем :

.

Тогда .

Ответ:.

Задание №6

Найти вектор , перпендикулярный векторам = {2, -2, -3} и = {4, 0, 6}.

Решение.

Так как и , то (векторное произведение векторов и ).

{-12, -24, 8}.

Ответ: {-12, -24, 8}.

Задание №7

Вычислить площадь параллелограмма ABDC и треугольника ABC, если А (0, 2, 2), B (1, -2, 3), C (-1, 2, 1), D (0, -2, 2).

Решение.

Найдем векторы и :

= { 1, -4, 1},

= {-1, 0, -1}.

Найдем векторное произведение полученных векторов:

={4, 0, -4}.

Найдем длину полученного вектора

.

Найдем площадь параллелограмма ABDC:

.

Найдем площадь треугольника ABC:

.

Ответ:,.

Задание №8

Найти объем пирамиды, вершины которой находятся в точках A(2, -1, 1), B(5, 5, 4),

C(3, 2, -1), D(4, 1, 3).

Решение.

Найдем координаты векторов , , :

{3, 6, 3},

= {1, 3, -2},

= {2, 2, 2}.

Вычислим смешанное произведение этих векторов:

Найдем объем пирамиды:

.

Ответ:.

Задание №9

Проверить компланарность векторов = {2, 3, -1}, = {1, -1, 3} и = {1, 9, -11}.

Решение.

Вычислим смешанное произведение векторов , и :

Так как , следовательно, векторы , и - компланарны.

Ответ: , и - компланарны.

Задание №10

Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки (3; 1) и (5; 4).

Решение.

Подставляя данные координаты точек и в формулу

,

получаем искомое уравнение прямой

,

,

,

.

Ответ:.

Задание №11

Две прямые заданы уравнениями и . Найти угол между этими прямыми.

Решение.

Угловые коэффициенты данных прямых:

.

Поэтому по формуле

,

находим

.

Таким образом, угол между данными прямыми равен

.

Ответ:.

Задание №12

Показать, что прямые и параллельны.

Решение.

При приведении уравнения каждой прямой к виду

получаем:

или ;

и

или .

Откуда видно, что угловые коэффициенты .

Следовательно, прямые параллельны.

Ответ: т.к., данные прямые параллельны.

Задание №13

Показать, что прямые и перпендикулярны.

Решение.

Приведя уравнения каждой прямой к виду

получаем:

или , где - угловой коэффициент,

и

или , где - угловой коэффициент.

Откуда видно, что угловые коэффициенты .

Следовательно, прямые перпендикулярны.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: