Рух вільної частинки

Розглянемо застосування рівняння Шредінгера до аналізу руху вільної мікрочастинки, тобто такої, що рухається у просторі без взаємодії з будь-якими зовнішніми силовими полями. У цьому випадку потенціальна енергія частинки U = 0 і не залежить від часу, а тому можна застосувати рівняння Шредінгера для стаціонарних станів (5.28). Вважаючи, що мікрочастинка рухається вздовж осі х, отримаємо, що оператор Лапласа у цьому випадку є другою похідною по х, а тому рівняння (5.28) набере вигляду:

. (5.30)

Розв’язком цього рівняння є координатна хвильова функція:

, (5.31)

де А – амплітуда, k – хвильове число. Після підстановки цієї функції в рівняння (5.30) отримаємо:

, (5.32)

звідки, після скорочення на , знайдемо зв’язок між енергією частинки і її хвильовим числом:

. (5.33)

Довжина хвилі де Бройля мікрочастинки (див. (5.14)):

, (5.34)

де р – імпульс мікрочастинки. Хвильове число k теж має зв’язок із довжиною хвилі (див. (3.225)):

. (5.35)

З останніх двох співвідношень знайдемо:

. (5.36)

Порівнюючи з (5.33), знайдемо зв’язок між енергією частинки та її імпульсом:

, (5.37)

що співпадає з класичним співвідношенням (1.88).

Отримані математичні співвідношення дозволяють зробити висновок, що у випадку руху вільної частинки її енергія та імпульс можуть набирати будь-яких значень, тобто енергетичний спектр вільної частинки є безперервним.

Повна хвильова функція вільної частинки (див. (5.26)):

, (5.38)

де , (5.39)

. (5.40)

Функція (5.38) – це плоска хвиля де Бройля, що розповсюджується в напрямку осі х.

Рух вільної частинки – це найпростіший випадок руху. В інших випадках частинка рухається під впливом зовнішніх силових полів або в умовах взаємодії з іншими частинками. При цьому в рівнянні Шредінгера зовнішні умови відображуються за допомогою потенціальної енергії U, яка має ту чи іншу функціональну залежність від координат і часу. Її наявність приводить до ускладнення розв’язку рівняння Шредінгера.

У загальному випадку рівняння Шредінгера має безліч рішень, тобто безліч тих значень енергії та хвильових функцій, які йому задовольняють. Енергетичний спектр мікрочастинки може бути дискретним або безперервним, у залежності від функції, яка визначає її потенціальну енергію. Для однозначного визначення повної енергії та хвильової функції мікрочастинки необхідно задати початкові та крайові умови (значення хвильової функції в певний момент часу та при певних координатах), яким повинен задовольняти розв’язок рівняння Шредінгера.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: