Применение первого начала термодинамики

К изопроцессам.

При изопроцессах в термодинамической системе один из параметров остается постоянным.

Изохорный процесс (V =const). При изохорном процессе газ не совершает работы против внешних сил . Вся теплота идет на увеличение внутренней энергии

Для произвольной массы газа получим

Изобарный процесс (р = const). При изобарном процессе работа газа при расширении равна

Если использовать уравнение Клапейрона – Менделеева для двух состояний, то

; , откуда

Тогда работа равна

Из этого равенства можно определить физический смысл R – равна работе изобарного расширения 1 моля идеального газа при нагревании его на 1 К.

Изотермический процесс (Т=const). Найдем работу при изотермическом расширении

Так как Т=const, внутренняя энергия газа не изменяется

,

т.е. все тепло, сообщаемое системе, идет на совершение работы

Адиабатический процесс. Процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой (d Q=0) Q=const. Первое начало термодинамики имеет вид:

т.е. работа совершается за счет внутренней энергии газа. Если газ расширяется , температура понижается. Если происходит сжатие газа, то , работу над газом совершают внешние силы, температура газа повышается. Уравнение адиабатического процесса имеет вид:

(уравнение Пуассона),

где = С _р/ С _v – коэффициент Пуассона или показатель адиабаты.

Теплоемкость при адиабатическом процессе равна нулю .

Диаграмма этого процесса (адиабата) в координатах

(p, V) изображается гиперболой, более крутой, чем изотерма. При адиабатическом сжатии происходит увеличение давления не только за счет уменьшения объема, но и за счет увеличения температуры.

рис.25

Работа при адиабатическом расширении от V ₁ до V ₂:

или

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Задача 1. Найти удельную теплоемкость при постоянном объеме некоторого многоатомного газа, если известно, что плотность этого газа при нормальных условиях равна 0,795 кг/м³.

Дано: r = 0,795 кг/м³; р =1,013 ^.10⁵Па; Т = 273К

Найти: С _v –?

Решение: Удельная теплоемкость при постоянном объеме определяется формулой:

где, i – число степеней свободы, R – универсальная газовая постоянная, M – молярная масса газа.

Плотность идеального газа находим из уравнений Клапейрона-Менделеева

Получим

Число степеней свободы для многоатомного газа i =6

Вычислим

Задача 2. Какое количество теплоты поглощают 200г водорода, нагреваясь от 0 до 100 ⁰С при постоянном давлении? Каков прирост внутренней энергии? Какую работу совершает газ?

Дано: m =0,2кг; M = 2 ^.10^-3кг/моль; T ₁=273К; T ₂=373К

Найти: Q, ∆ U, A –?

Решение: Количество теплоты , поглощаемое газом при изобарическом процессе нагревании, определяется по формуле

где m – месса нагреваемого газа; С _р – удельная теплоемкость газа при постоянном давлении; ∆T = (T₁– T₂) – изменение температуры газа.

Известно, что

где i – число степеней свободы, для двухатомного газа i =5;

M – молярная масса; R – универсальная газовая постоянная

Вычислим

Внутренняя энергия газа определяется формулой

Изменение внутренней энергии равно

Подставим числовые значения

По первому началу термодинамики определяется работа, совершаемая газом

Найдем числовые значения

Задача 3. Используя функцию распределения молекул идеального газа по относительным скоростям , определить число молекул, скорости v которых меньше 0,002 наиболее вероятной скорости, если в объеме газа содержится N =1,64 ^.10²⁴ молекул.

Дано: , v_max= 0,002^. v_В; N =1,64 ^.10²⁴

Найти: ∆N –?

Решение: Число молекул, относительные скорости которых заключены в пределах от

(1)

где N – число молекул в объеме газа.

По условиям задачи, v_max= 0,002 v_В , то . Так как u <<1 то . Пренебрегая u ²<<1, выражение (1) можно записать в виде

(2)

Проинтегрировав (2) по u в пределах от 0 до u _max, найдем

Вычислим

Задача 4. Определить во сколько раз отличается коэффициент диффузии азота (М ₁=28^.10^-3 кг/моль) и углекислого газа (М ₂=44^.10^-3 кг/моль), если оба газа находятся при одинаковых температуре и давлении. Эффективные диаметры этих газов считать одинаковыми.

Дано: М ₁=28 ^.10^-3 кг/моль; М ₂=44 ^.10^-3 кг/моль; Т ₁ = Т ₂; p ₁ = p ₂; d ₁ = d ₂

Найти: D ₁ / D ₂-?

Решение: Коэффициент диффузии газа (1)

где средняя арифметическая скорость его молекул; – средняя длина свободного пробега молекул. Поскольку , из условия задачи (р ₁= р ₂, Т ₁= Т ₂), следует, что n ₁= n ₂. Подставив значения в формулу (1) и учитывая условия задачи, найдем

, вычисляем

Вариант 1.

1. Материальная точка массой m=0,5кг совершает движение согласно уравнениям: . Определить величину и направление силы, действующей на точку, в момент t=1с.

2. Небольшой груз совершает колебания по закону . Определите амплитуду, период, начальную фазу, а также максимальную скорость и ускорение груза.

3. Определить угол, под которым тело брошено к горизонту, если максимальная высота подъема составляет 0,25 дальности его полета. Сопротивлением воздуха пренебречь.

4. Ствол пушки направлен под углом 45⁰ к горизонту. Когда колеса пушки закреплены, скорость снаряда, масса которого в 50 раз меньше массы пушки, n₀=180м/с. Найти скорость пушки сразу после выстрела, если колеса освободить.

5. Определить работу, которую необходимо затратить, чтобы вывести ракету за пределы поля тяготения Земли, если ракета стартует с космического корабля, движущегося по орбите на уровне 600 км над поверхностью Земли. Масса ракеты 20 т.

6. Два баллона соединены непроводящей тепло тонкой трубкой. Объемы баллонов V ₁ =12^.10^{-2 м3} V ₂ =8^.10^{-2 м3}. В баллонах находится идеальный газ в количестве =3 моля. Первый баллон поддерживается при температуре t ₁=0 ⁰С. До какой температуры нужно нагреть второй баллон, чтобы в нем осталась одна треть общего количества газа? Каким будет давление в сосудах?

7. Кислород объемом 1л находится под давлением 1МПа. Определите, какое количество теплоты необходимо сообщить газу, чтобы: 1) увеличить его объем вдвое в результате изобарного процесса; 2) увеличить его в результате изохорного процесса.

8. Найти теплопроводность λ воздуха при условиях: давлении р = 100 кПа и температуре t = 10 ºС. Диаметр молекул воздуха d = 0,3 нм.

Вариант 2.

1.Материальная точка массой m=0,5кг движется под действием постоянной силы F=10Н. В начальный момент скорость точки равна n₀=2м/с. Определить ускорение и скорость в момент t=5с.

2. Точка совершает колебания, описываемые уравнением . В некоторый момент сила, действующая на точку, и ее потенциальная энергия равны соответственно

F=5^.10^-3Н и Е_р=10^-4Дж. Чему равны фаза и кинетическая энергия точки в этот момент времени?

3. Колесо радиусом R=0,2м вращается с угловой скоростью (А=2рад/с²; В=12рад/с²). Определить полное число точек обода колеса через t=2с после начала вращения и число оборотов за это время.

4. В момент, когда скорость падающего тела n₀=4м/с, оно разорвалось на три одинаковых осколка. Два осколка разлетелись в горизонтальной плоскости под прямым углом друг другу со скоростью n=5м/с каждый. Найти скорость третьего осколка сразу после разрыва.

5. Определите, во сколько раз масса Марса меньше массы Земли, если известно, что сила притяжения на Земле больше силы притяжения на Марсе в 2,55раз. Радиус Марса составляет 0,53 радиуса Земли.

6. Кислород массой m =1кг находится при температуре Т =320К. Определите: 1) внутреннюю энергию молекул кислорода; 2) среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекул кислорода. Газ считайте идеальным.

7. Найти среднюю длину свободного пробега молекул воздуха при нормальных условиях. Диаметр молекул воздуха d =0,3нм.

8. При изотермическом расширении газа, занимавшего объем V = 2 м³, давление его меняется от р ₁ = 0,5 МПа до

р ₂ = 0,4 МПа. Найти работу А, совершенную газом.

Вариант 3.

1. На материальную точку, совершающую прямолинейное движение, действует сила F, равномерно убывающая в течение t₀=10с. Какой путь она пройдет за это время, если начальная скорость равна нулю, а начальное ускорение .

2. Две пружины с жесткостью, соответственно равной k₁ и k₂ соединены один раз последовательно, второй раз параллельно. Во сколько раз будут отличаться периоды вертикальных колебаний груза на таких пружинах.

3. Колесо вращается равнозамедленно с угловым ускорением ε=0,21 рад/с². Частота вращения колеса в начальный момент времени была 300мин^-1. Сколько полных оборотов сделает колесо через 1мин. и чему равна частота вращения его в конце этого промежутка времени?

4.Снаряд, летевший с горизонтальной скоростью 500 м/с, разрывается на два осколка. Масса одного осколка в два раза больше другого. Осколок большей массы падает по вертикали, а меньший – под углом 30° к горизонту. Какова скорость второго осколка?

5.Определите высоту, на которой ускорение свободного падения составляет 25% от ускорения свободного падения на поверхности Земли.

6. Определите удельные теплоемкости С _V и С _Р смеси углекислого газа массой m ₁=3г и азота массой m ₂=4г.

7. Найти среднюю длину свободного пробега молекул азота при давлении р =10 кПа и температуре t =17 ⁰С

8. Углекислый газ и азот находятся при одинаковых температурах и давлениях. Найти для этих газов отношение:

а) коэффициентов диффузии; б) вязкости; в) теплопроводностей. Диаметры этих молекул газов считать одинаковыми.

Вариант 4.

1. Вагонетка, вес которой с грузом составляет Р=8500Н, движется по горизонтальному пути под действием, испытывая сопротивление -0,01Р. Рабочий толкает вагонетку с силой F=170Н. Через сколько времени рабочий сообщит вагонетке скорость n=0,6м/с.

2. Точка совершает колебания по закону, . Определите за какие промежутки времени точка проходит отрезки пути, равные половине амплитуды колебаний. Чему равны средняя скорость и среднее ускорение точки за эти промежутки времени.

3. Диск радиусом R=10см вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси согласно закону (В=1рад/с²; С=1рад/с²). Определите для точек на ободе колеса к концу второй секунды после начала движения полное ускорение.

4. Телу массой m, лежащему на горизонтальной плоскости, сообщают начальную горизонтальную скорость n₀. Найти время и расстояние до остановки, если коэффициент трения f.

5. Спутник поднимают на высоту 6000км и запускают его по круговой орбите на той же высоте. Определите отношение работ на поднятие А₁ и на запуск А₂ спутника.

6. До какой температуры Т ₁ при постоянном давлении р =10⁵ Па надо нагреть кислород, чтобы его плотность стала равна плотности водорода при том же давлении и температуре Т ₂=200 К?

7. Найти среднее число столкновений в единицу времени СО₂ при температуре t =100 ⁰С, если средняя длина свободного пробега молекул l =870 мкм.

8. В сосуде объемом V = 2 л находится N = 4∙10²² молекул двухатомного газа. Теплопроводность газа λ = 14 мВт/(м∙К). Найти коэффициент диффузии D газа.

Вариант 5.

1. Мяч бросили с начальной скоростью под углом к горизонту. Скорость мяча будет направлена под углом к горизонту дважды во время полета. Через какой промежуток времени это случится во второй раз?

2. Частица движется вдоль оси Х по закону , где a и b – положительные постоянные. В момент t=0с сила, действующая на частицу, равна F₀. Найти значение силы, когда частица опять окажется в точке х=0.

3. Во время разгона маховик вращается вокруг своей оси по закону . Определить угловую скорость и угловое ускорение маховика в момент, когда он сделает 27 оборотов.

4. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках стержень вертикально по оси вращения скамьи. Скамья с человеком вращается с угловой скоростью 6 рад/с. С какой угловой скоростью будет вращаться скамья с человеком, если повернуть стержень так, чтобы он занял горизонтальное положения? Суммарный момент инерции человека и скамьи J = 20 кг×м².Длина стержня 2 м, масса – 5 кг. Считать, что центр масс стержня с человеком находится на оси платформы.

5. Определите работу, которую необходимо совершать, чтобы тело массой m=2000кг, находящееся на Земле, смогло превратить в спутник Солнце. Сопротивлением среды пренебречь.

6. Определить, во сколько раз изменится концентрация молекул газа, если изобарически уменьшить абсолютную температуру в а =7 раз, а затем количество газа уменьшить в b =14 раз при том же давлении.

7. Молекула кислорода, ударившись о стенку сосуда, передала ей импульс ∆р =5,06 ^.10^{-23 кг.} м / с. Найти температуру газа в сосуде, если скорость данной молекулы была направлена под углом a=30⁰ к стенке и равнялась по величине удвоенной среднеквадратичной скорости.

8. В закрытом сосуде находится масса m₁ = 20 г азота и масса m ₂ = 32 г кислорода. Найти приращение Δ U внутренней энергии смеси газов при охлаждении ее на Δ T = 28 К.

Вариант 6.

1. Вдоль тяги, при помощи которой тянут вагончик по горизонтальному пути, действует постоянная сила F=250Н под углом 32⁰ к горизонту. Определить работу, которую совершает данная сила на пути 200м. Какую работу совершает сила тяжести?

2. Математический маятник длиной l и массой m, отклонили на угол j₀ от положения равновесия и сообщили ему начальную скорость , направленную перпендикулярно к нити вверх. Найти силу натяжения маятника в зависимости от угла j нити с вертикалью.

3. Колесо радиусом R=1м вращается равномерно вокруг своей оси, делая один оборот за 0,25с. Найти скорость и ускорение точки, лежащей на ободе колеса.

4. Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением j = А + Вt+Сt ², где А = 3 рад, В = 28 рад / с,

С = – 5 рад / с². Найти среднюю мощность < N >,развиваемую силами, действующими на маховик при его вращении, до остановки, если его момент инерции J = 100 кг×м².

5. Частица движется со скоростью v=0,8с (с – скорость света в вакууме). Определить отношение полной энергии релятивистской частицы к ее энергии покоя.

6. Цилиндрический сосуд длиной l =85 см разделен на две части легкоподвижным поршнем. При каком положении поршня давление в обеих частях цилиндра будет одинаково, если одна часть заполнена кислородом, а другая водородом такой же массы? Температура в обеих частях цилиндра одинакова.

7. Определить, во сколько раз средняя квадратичная скорость пылинки массой m =1,75^.10^{-12 кг, взвешенной в воздухе, меньше средней квадратичной скорости движения молекул азота?}

8. Гелий, находящийся при нормальных условиях, изотермически расширяется от объема V ₁ = 1 л до V ₂ = 2 л. Найти работу А, совершенную газом при расширении, и количество теплоты Q, сообщенное газу.

Вариант 7.

1. Найти мощность машины, поднимающей молот массой 900кг 100 раз в минуту, на высоту h=0,6м, если коэффициент полезного действия η=0,8

2. Материальная точка массой m=400г совершает гармонические колебания по горизонтальной оси О_х по закону (х выражено в см., t – в с.). Найти силу, действующую на точку в крайних точках, амплитуду, период и кинетическую энергию в положении равновесия.

3. Вал начинает вращаться с угловой скоростью

w₀=2p рад/с равноускоренно и за 10с делает 10 оборотов. Найти ускорение точки, отстоящей от оси вращения вала на расстоянии, равном 0,5м, в тот момент, когда скорость этой точки равна 2p м/с.

4.Начальная скорость снаряда n₀=490м/с. Под каким углом a к горизонту следует бросить этот снаряд из начала координат, чтобы он попал в точку с координатами х=700м; у=680м.

5.Определите, на сколько процентов отличается полная энергия релятивистской частицы, вылетающей из ускорителя со скоростью v=0,75с (с – скорость света в вакууме), от ее энергии покоя.

6. В сосуде объемом V ₁ находится одноатомный газ при давлении р ₁ и температуре Т ₁, а в сосуде объемом V ₂ такой же газ при давлении р ₂ и температуре Т _2. Какое давление и температура установятся в сосудах при их соединении? Теплообменом с окружающей средой и стенками сосудов пренебречь.

7. Определить температуру газа, при которой средняя квадратичная скорость молекул водорода больше их наиболее вероятной скорости на ∆v=400 м/с. Найти среднюю арифметическую скорость молекул водорода при этой температуре.

8. Воздух массой m =1 кг находится под поршнем в цилиндре. Давление воздуха р = 8^.10⁵ Па, а температура t =158 ⁰С. При изотермическом расширении его давление уменьшилось вдвое. Найти работу, совершаемую газом, и его конечный объем.

Вариант 8.

1. Брусок массой m=0,5кг тянут за нить так, что он движется с постоянной скоростью по горизонтальной плоскости с коэффициентом трения k=0,1. Найти угол a, при котором натяжение нити минимально. Чему оно равно?

2. Материальная точка массой m=2кг описывает криволинейную траекторию по закону . Найти силу, действующую на тело в момент времени, когда скорость тела n=3м/с. Радиус кривизны траектории R=6м

3. Вал вращается в подшипниках вокруг неподвижной горизонтальной оси по закону , где j – угол поворота вала в радианах. Определить скорость и ускорение точки М вала, отстоящей от оси вращения вала на расстоянии r=0,8м в тот момент, когда угловая скорость вала достигает наибольшего максимального значения.

4. Человек массой 70кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой 1000кг, вращающейся вокруг неподвижной вертикальной оси с угловой скоростью 0,2рад/с, переходит к ее центру. Считая платформу однородным диском, а человека – материальной точкой, определите, с какой частотой будет вращаться платформа после этого перехода.

5. Определить скорость частицы, у которой релятивистский импульс превышает ее ньютоновский импульс в 2 раза.

6. В сосуде при давлении р =10⁵ Па и температуре

t =27 ⁰С находится смесь азота, кислорода и гелия, массы которых равны. Найти плотность смеси газов.

7. Баллон массой m =1 кг, объемом V =1л заполнен азотом так, что при температуре t=20 ⁰С давление в баллоне р =1 атм. С какой скоростью стал бы двигаться баллон, если бы удалось упорядочить хаотическое тепловое движение так, чтобы все молекулы азота двигались в одну сторону?

8. При изобарном нагревании одноатомного газа, взятого в количестве =800 молей, ему сообщили количество теплоты 9,4 МДж. Определить работу газа и изменение его внутренней энергии.

Вариант 9.

1. По наклонной плоскости скользит тело и в конце третьей секунды достигает скорости 10,9м/с². Определите угол наклона, если коэффициент трения составляет 0,125.

2. Подвешенный на нити шарик качается в вертикальной плоскости так, что его ускорение а=4м/с². Найти модуль ускорения шарика в крайнем положении.

3. Скорость вращения колеса, вращающегося под действием тормозящей силы равнозамедленно, за время t=1мин уменьшилась от 5рад/с до 3рад/с. Момент инерции колеса 2кг^.м². Определить: угловое ускорение; момент силы торможения; работу силы торможения.

4. Маховик, имеющий вид диска радиусом R = 50 см и массой m = 60 кг, может вращаться вокруг горизонтальной оси. На этой оси жестко закреплен шкив радиусом r = 20 см. По касательной к шкиву приложена постоянная сила F = 400 H. Через сколько времени маховик раскрутится до частоты

n = 4 об / с?

5. Определить кинетическую энергию частицы, релятивистский импульс которой превышает ньютоновский импульс в 5 раз.

6. Найти импульс молекулы водорода при температуре t =20 ⁰С. Скорость молекулы считать равной средней квадратичной скорости.

7. Некоторый газ массой m =5г расширяется изотермически от объема V ₁ до объема V ₂=2 V ₁. Работа расширения А =1кДж. Определите среднюю квадратичную скорость молекул газа.

8. При адиабатическом сжатии аргона массой m =1 кг совершена работа А =10⁵ Дж. Какова будет конечная температура Т₂ газа, если до сжатия аргон находился при температуре

t =27 ⁰С?

Вариант 10.

1. Тело массой 4 кг движется со скоростью 3м/с и ударяется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар центральным и неупругим, определить количество теплоты выделившегося при ударе.

2. Тело массой m=0,2кг, лежащее на горизонтальной поверхности стола, привязано к неподвижной точке О нитью длиной l=35см. Телу сообщена начальная скорость n₀=4,9м/с, перпендикулярная к направлению натянутой нити, в результате тело описывает на столе окружность. Найти скорость тела и силу натяжения нити через 1с после начала движения, если коэффициент трения f=0,25. Тело принять за материальную точку.

3. К ободу сплошного диска радиусом R=0,5м приложена касательная сила F=100Н. Масса диска 32кг, угловое ускорение постоянное и равно 12 рад/с². Определите момент сил трения, действующих на диск.

4. Маховик в виде диска массой m =100 кг и радиусом

R = 50 см находится в состоянии покоя. Какую работу A ₁ нужно совершить, чтобы сообщить маховику частоту вращения

n = 12 c^-1? Какую работу A ₂ пришлось бы совершить, если бы при той же массе диск имел меньшую толщину, но вдвое больший радиус?

5. Определить релятивистский импульс нейтрона, кинетическая энергия которого 1ГЭв.

6. Кислород массой 32г находится в закрытом сосуде под давлением 0,1МПа при температуре 290К. После нагревания давление в сосуде повысилось в 4 раза. Определите: 1) объем сосуда; 2) температуру до которой газ нагрели; 3) количество теплоты, сообщенное газом.

7. Кислород, занимающий при давлении р ₁=1МПа объем V ₁=5л, расширяется в n раз. Определите конечное давление и работу, совершаемую газом. Рассмотрите следующие процессы:

1) изобарный; 2) изотермический; 3) адиабатный.

8. Углекислый газ и азот находятся при одинаковых температурах и давлениях. Найти для этих газов отношение:

а) коэффициентов диффузии; б) вязкости; в) теплопроводностей. Диаметры этих молекул газов считать одинаковыми.

Список литературы

1.Савельев, И.В. Курс общей физики: учеб.пособие: в 3 т. Т.1 / И.В.Савельев. – 2-е изд., перераб.–М.: Наука, 1982. – 432с.

2. Сивухин, Д.В. Курс общей физики. Механика / Д.В.Сивухин. – 2-е изд., исправл. – М.: Наука, 1979. – 519с.

3. Библиотечное дело: справочник по физике / под ред. Б.М.Яворского, А.А.Детлафа. – М.: Наука, 1980. – 507с.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: