Лекція 10. Безперервні системи та їх моделі.

В залежності від природи та вигляду операторів та залежностей, що входять до виразу загальносистемної моделі, системи, які нею описуються, можуть мати досить відмінні властивості і відноситись до різних класів.

Наприклад, якщо оператори та задані на всій області визначення для змінної і виконуються умови відхилення на безкінечно малу величину часу

; (1)

то система, що описується такою моделлю називається безперервною системою. Фактично, безперервність системи свідчить, що при зміні як часу, так і вхідного впливу на безкінечно малу величину, вихідна координата та внутрішній стан змінюються на безкінечно малу величину.

Безперервність – фундаментальна властивість систем, що відрізняє їх від великого класу так званих дискретних систем, які можуть бути описані і досліджені виключно в певні моменти часу, між якими знаходяться в стані невизначеності.

Безперервні системи найбільш зручні в описі та моделюванні, оскільки їх статика описується системами алгебраїчних рівнянь, а динаміка – системами диференційних рівнянь.

Оператори та для безперервних систем можуть бути записані у вигляді векторних диференційних рівнянь

; (2)

Оператори та можуть мати властивості однорідності (по відношенню до операції множення) та (або) адитивності (по відношенню до операції додавання). В першому випадку при множенні змінних на довільний коефіцієнт, він може бути винесений за знак оператора

; (3)

В другому випадку кожен з операторів може бути представлений сумою часткових операторів, що містить постійну і змінну складову

; (4)

Оскільки та (початкові значення вхідної змінної та внутрішнього стану в момент часу ) - константи, при диференціюванні вони виключаються із операторів згідно (2).

Якщо для операторів, що описують систему одночасно виконуються умови однорідності та адитивності, ця система є лінійною. Лінійність системи – також важлива її якість, яка дозволяє значно спрощувати її опис та моделювання, оскільки динамічні та статичні процеси в ній описуються рівняннями першого порядку.

Найбільш розглянутим і дослідженим класом систем є безперервні лінійні системи, робота яких може бути описана через (2) з урахуванням (3)-(4)

. (5)

де , , та - матриці коефіцієнтів, що в загальному випадку залежать від часу (частіше є константами). Дана модель надзвичайно проста, але навіть при її використанні необхідно знати велику кількість параметрів, що є коефіцієнтами моделі. Наприклад, якщо - кількість вхідних координат, - кількість вихідних, а - кількість змінних стану, то важливо пам’ятати про два показника складності системи:

сумарну розмірність (6)

кількість коефіцієнтів (7)

Тобто, вже при необхідно знати близько 50-100 коефіцієнтів. Якщо ж вони при цьому залежать від часу, задача неймовірно ускладнюється. Це є головною проблемою при моделюванні систем великої розмірності. Тому, при аналізі систем на практиці намагаються якомога сильніше зменшити коло факторів, що розглядаються (вхідних змінних) і величин, на які вони впливають (вихідних змінних) через доведення слабкості впливу тих чи інших речей на поведінку системи.

Стаціонарною називається система, інваріантна до часу. Тобто, якщо в оператори виходу та стану ввести зсув у часі на величину , поведінка системи не зміниться

; (8)

Інакше кажучи, в який момент часу ми не стали розглядати стаціонарну систему, при однаковій вхідній послідовності та однакових початкових умовах вона буде поводити себе однаково.

Всі розглянуті досі системи були детерміновані, оскільки оператори та ставили у однозначну відповідність набори , та . В реальності більшість систем є імовірнісними або стохастичними. В них значення вихідної величини при певних та описується набором значень, що має назву закону розподілу ймовірностей. В такому випадку оператори та замінюються мірами ймовірності та .

Надважкий процес аналізу подібних систем може бути спрощений використанням замість випадкових величин , та їх математичних очікувань, наприклад

. (9)

Але така заміна не завжди припустима, до того ж подібні розрахунки будуть мати скінчену точність (в техніці прийнято 95%).

Лекція 11. Дискретні системи та їх моделі

Всі системи, що розглянуті нами раніше – безперервні. Вони досить часто зустрічаються в живій природі. Власне, безперервною системою є і людина. Але крім них існує величезний клас так званих дискретних систем, стан яких описується не на всій прямій часу, а лише в окремих її точках. В наш час дискретні системи все більш поширюються, оскільки головною дискретною системою є ЕОМ.

Одним з ключових понять в теорії дискретних систем є такт – проміжок часу між його відліками, протягом якого параметри системи мають постійне значення.

(1)

Фактично, кожен відлік часу дорівнює

(2)

тому, для визначення моменту часу достатньо знати номер його такту. При описі дискретних систем частіше зустрічається позначення “на десятому такті”, ніж наприклад “через 25 секунд”. Це обумовлено тим, що величина такту – річ змінна і керована.

Узагальнена модель дискретної системи може бути виведена із моделі безперервної системи заміною незалежної змінної (часу) на множину відліків по ній. При цьому важливою особливістю дискретних систем є те, що наступний внутрішній стан і вихід системи визначаються лише входом на поточному і попередньому такті та внутрішнім станом на попередньому такті. Оператори та для дискретної системи можуть бути записані у вигляді

(3)

Запис (3) називають узагальненою моделлю дискретної системи. Насправді, в більшості випадків, ця модель дещо спрощується. По-перше, оскільки між відліками існує проміжок часу (такт), а сам відлік – безкінечно мала величина у часі, то вплив поточного значення вхідного сигналу на поточний внутрішній стан відсутній. Тобто, поточний вхідний сигнал та внутрішній стан визначають наступний стан системи

(4)

В той же час, в більшості систем кожне значення виходу визначається сигналом на вході і внутрішнім станом у тому самому такті (вхідний сигнал у попередньому такті не зберігається і не впливає на вихід)

або (5)

Однак, спрощення вигляду (4) та (5) припустимі лише для певного класу систем. Характерними прикладами таких систем є лінійні та стаціонарні дискретні системи.

Лінійною дискретною системою називається така, оператори та якої одночасно адитивні й однорідні та яка описується системою

(6)

де , , та - матриці коефіцієнтів, що в загальному випадку залежать від номеру такту (частіше є константами) і мають той же фізичний сенс, що і коефіцієнти лінійної безперервної моделі, розглянутої нами раніше. На відміну від безперервних систем, лінійні дискретні системи – досить рідкісні. Частіше за все це – результат дискретизації безперервного лінійного процесу на ЕОМ.

Стаціонарні дискретні системи прийнято частіше за все називати автоматами. Для таких систем заміна в заміна в рівняннях (4) та (5) номеру такту на , де - довільне натуральне число, призводить до тотожності та . Відповідно, такі системи не прив’язані до номеру такту і система рівнянь, що їх описує набуває вигляду

(7)

Найбільше поширення отримала теорія так званих скінчених автоматів, у яких множини , та , що містять всі можливі значення відповідно входу, виходу та внутрішнього стану є скінченими. Тобто існує скінчений перелік з можливих значень сигналів на вході, можливих значень сигналів на виході, а також можливих внутрішніх станів системи.

Для скінченого автомата дуже легко задати функції та у вигляді таблиці розміру , в кожній чарунці якої в чисельнику міститься наступний внутрішній стан системи, а в знаменнику – сигнал на виході (навести приклад). Будь-який скінчений автомат легко також представити орієнтованим графом, вершинами якого будуть внутрішні стани, а дугами – пари з вхідного і вихідного сигналів (той же приклад).

З викладеного раніше витікає, що автомати повинні містити елементи пам’яті, аби зберігати значення стану системи від такту до такту, один чи декілька вхідних та вихідних каналів. В теорії розроблені моделі дискретних систем без пам’яті, без входів та виходів. Всі вони є окремими випадками загальних скінчених автоматів. Розрізняють автомати Мілі та Мура. Перші працюють безпосередньо використовуючи систему (7). Другі (апарати Мура) будують, виходячи з того, що вихід системи визначається виключно станом системи на поточному такті і не важливо, який сигнал при цьому поступив на вхід, він лише впливає на наступний стан системи.

Як і безперервні, дискретні системи можуть бути стохастичними. В таких системах перехід із одного внутрішнього стану в інший не детермінований, а є результатом лотереї. Можливість переходу зі стану до стану за умови наявності на вході певного сигналу визначається ймовірністю такої події . Тобто для кожного поточного стану при наявності певного сигналу на вході існує вектор з величин ймовірностей, що відповідає вектору з можливих наступних станів системи. Вибір наступного стану системою відбувається випадково або лотерейно, за визначеними ймовірностями (пояснити).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: