РЕГРЕССИОННЫЕ МОДЕЛИ

Нормальные уравнения регрессии составляются по виду (1.3.4.) в количестве, соответствующему количеству неизвестных коэффициентов bi. Полученная система уравнений ре­шается обычными математическими методами (метод исклю­чения, метод наименьших квадратов — МНК).

Определение эмпирической формулы линейного вида.

Если числовые данные испытаний укладываются графи­чески достаточно близко от проведенной некоторым образом прямой, то можно предположить существующую здесь линей­ную зависимость:

у=ах+b.

Пример.

При испытаниях на стенде системы управления поворот­ным соплом двигательной установки ракеты [4] были получе­ны данные, определяющие зависимость усилия на штоке руле­вой машинки (Р) от перепада давления между двигательным отсеком и средой, разделяемых защитной мембраной ( р):

Таблица 5

р,[кПа]	—20,0	—15,0	10,0	—5,0		+5,0	+ 10,0	+ 15,0	+20
P, [H]	— 101	—77	—81	—57	—21	—29	— 13	— 11	+ 29

На рис. 2 точки расположились сравнительно близко к проведенной прямой. Следовательно, можно считать зависи­мость P=f( p) линейной.

Этот же вопрос можно решить аналитически.

Допустим сначала, что точки графика точно удовлетворя­ют формуле линейной зависимости,

т. е.

Вычтем из каждого равенства (начиная со второго) преды­дущее:

или

=

где — первые разделенные разности [27];

i= 1; 2;...; (n-1)

. (34)

Рис. 2. Экспериментальная зависимость Р = f( p).

Таким образом, для линейной формулы должно выполнять­ся условие (17). Но при наличии эмпирической формулы (16) равенства (17) будут приближенными, но мало отличающи­мися (колеблющимися) друг от друга.

По табл. 6 вычислим разности по формулам (16).

Из табл. 6 видно, что разности колеблются в сравни­тельно небольших пределах от +8,0 до —1,6, исключая выпа­дающее значение . Следовательно, искомая эмпирическая формула имеет вид линейной зависимости.

В нашем примере значения , расположенные в поряд­ке возрастания, образуют арифметическую прогрессию. Обоз­начим = h — шаг аргумента.

Тогда формула (16) примет вид:

, откуда .

Таблица 6

№	р	Р		Pi+1
1.	—20,0	— 101	— 15-(—20) = +5,0	—77—(—101) = +24	(+ 24): (+5,0) = +4,8
2.	— 15,0	—77	— 10—(—15) = +5,0	—81—(—77) = —4	(-4): (+ 5,0) = —0,8
3.	10,0	—81	—5—(—10) = +5,0	—57—(-81) = +24	+ 1,8
4.	—5,0	—57	+ 5,0	—21 —(—57) = +36	+ 7,2
5.		—21	+ 5,0	—29— (—21) = —8	—1,6
6.	+5,0	—29	+ 5,0	— 13—(—29) = +16	+ 3,2
7.	+10,0	— 13	+ 5,0	— 11—(—13) = +2	+0,4
8.	+15,0	— 11	+ 5,0	+29—(—11) = +40	+ 8,0
9.	+20,0	+29

Обозначим и получим

(18)

Величины называются первыми неразделенными разностя­ми. Условие (17) перепишем:

=…= . (19)

Т. е. первые неразделенные разности должны мало отличать­ся друг от друга, что мы отмечаем в табл. 6.

В результате подстановки значении переменных р и Р в уравнении линейной зависимости появляются уклонения:

.

Используя МНК, находим такие значения параметров а и b, при которых сумма квадратов уклонений была бы мини­мальной, т. е.:

2+

min. (20)

Для этого определим частные производные

Приравняв частные производные нулю, получим нормаль­ные уравнения:

;

. (21)

Следует убедиться в том, что уравнения (21) определят значения параметров при минимуме функции (20). Для этого берем частные производные 2-го порядка:

;

; (22)

и составляем дискриминант (определитель) D:

=

или D > 0 тогда, когда

или n

Выведенная разность не может равняться нулю, поскольку определитель системы (22)

отличен от нуля, т. к. система имеет решение.

Следовательно, D>0 и >0, что указывает на наличие минимума функции (37).

Проведем расчет параметров а и b методом МНК соглас­но формулам (22) по данным из табл. 7.

Таблица 7

№	р, [кПа]	P,[H]	р2	Р. р	Р
1.	—20,0	—101	+ 400,00	+ 2020.0	—98,9	+ 2,1	+ 4,41
2.	— 5,0	—77	+ 225,00	+ 1155.0	—84,2	—7,2	+50.9
3.	—10,0	—81	+ 100,00	+ 810,0	—69,5	+ 11,5	+ 132,1
4.	—5,0	—57	+ 25,00	+285,0	—54,8	+2,2	+ 4,84
5.		—21			—40,1	— 19.1	+366,4
6.	+ 5,0	—29	+ 25.00	— 145.0	—25,4	+ 3.6	+ 10,29
	+ 10,0	— 13	+ 100.00	— 130.0	— 10,7	+ 2,3	+ 5,29
8.	+ 15.0	— 11	+ 225.00	— 165.0	+ 4,0	+ 15,0	+225
9.	+ 20,0	+ 29	+ 400,00	+580,0	+ 18,7	— 10.3	+ 103.1
		—361	+ 1500,00	+ 4410,0	—360,9	+ 0,1	+ 902,03

Нормальные уравнения по данным табл. 7 будут иметь вид:

Откуда

a= =-2,94; b=- ≈-40,1

Таким образом, искомая эмпирическая формула будет:

Р = 2,94∆р —40,1.

Подставим сюда значения ∆р для определения значении в таблице 11, затем рассчитаем уклонения . Здесь сумма квадратов уклонений будет минимальная, причем = 0 (в табл. 11 = 0,1, что объясняется округлениями), т. к. сумма равенств, определяющих уклонение:

Но левая часть уравнения совпадает с левой частью второ­го нормального уравнения (21) после переноса . Определение эмпирических формул, приводящихся к параболическому виду. В этом случае экспериментальные данные должны удовлет­ворять формуле (или могут быть средние значения функции отклика из плана однофакторного эксперимента или двух­факторного при постоянном значении одного из факторов):

у = а + bх + с. (23)

При определении параметров параболической формулы методом МНК используется система нормальных уравнений, выведенных из условия = min:

(24)

Эмпирические формулы, приводящиеся к линейном виду.

Расчет подобных формул производится, если не выполняются условия принадлежности исследуемых характеристик к линейной или параболической.

Рассмотрим 6 формул, наиболее часто встречаемых в фор­мализованных описаниях процессов испытаний (см. 1.4.2).

Для каждой формулы установим свойство, которому удов­летворяют два крайних значения зависимой переменной (т. е. и ) и некоторое промежуточное значение .

1. у = аlgx+b (25)

Подставим крайние значения и аргумента

Возьмем среднее геометрическое из двух крайних значений аргумента

, этому значению будет соответство­вать следующее значение зависимой переменной

или

 

 

Итак, для функции (25) должно выполняться условие

где — значение функции при .

 

2. у = а .

 

Также, как и в предыдущем случае, подставляем крайние значения переменных

;

 

или , откуда это есть условие, которому удовлетворяет рассматривае­мая формула.

 

3. у = а .

 

Подстановка крайних значений дает:

 

, .

Берем среднее арифметическое аргумента:

 

, для которого или , откуда — свойство функции у = а .

 

Сводные данные по аналогичным расчетам для других формул приведены в табл. 8.

Вид эмпирической формулы выбираем, пользуясь таблицей 8. По данным измерений находим и . Затем для этого же значения определим , используя дан­ные испытаний. Если будет равно какому-нибудь , то .

 

Таблица 8

№ формулы			Формула
1.
2.
4.
5.			y-a+
6.

 

 

Причем x_i соответствует ; откуда,

применяя линейную интерполяцию,

(26)

Таким образом, для получим 2 значения функции и . Если они мало отличаются друг от друга, то выбранная формула подтверждается, в противном случае нужно испы­тывать следующую за исследованной формулу таблицы 8. Из испытанных формул выбирается та, для которой разность () будет меньше.

Вид зависимостей и их параметры можно определить по формулам, выведенным по МНК, из приложения 3 к ГОСТ 16.305—74.

Пример.

Определить вид эмпирической формулы, выражающей за­висимость между усилием на штоке рулевой машинки Р и углом отклонения а поворотного сопла двигательной установ­ки летательного аппарата по эмпирическим данным в таблице 9.

 

Таблица 9

Р, [Н] + 500	+74	+ 95	+22, +6	-148	-138	-178 -141	-607
, [град]	— 10	—8 —6	—4	—2	+2	+4	+6	+8	+10
№

 

По виду экспериментальной кривой на рис. 3 можно пред­положить, что мы получили график степенной функции типа 2 (см. табл. 8), т. е.

у = — а или Р = —a

 

 

 

Рис. 3. Экспериментальная зависимость Р = f( ).

 

По предложенной выше методике определяем: . Поскольку график экспериментальной кривой расположен во 2 и 4 квадрантах, а определение парамет­ров а и b связано с вычислением логарифмов, поэтому мы ус­ловно отразим обе ветви графика в 1-ый квадрант и проведем все расчеты для функции Р=+a При этом нужно учесть для удобства расчетов смещение графика по ординате на +6 при = 0, вычтя 6 из взятых значений функции (см. табл. 10).

 

Таблица 10

Ветвь из 4-го квадранта	Р		147 | 184
Ветвь из 2-го квадранта	Р		68 89
			8 6
№		2 3

 

 

Тогда , откуда при в табл. 10 , т.е. а cледовательно выбор форму­лы сделан верно.

 

Расчеты параметров а и b проведем по формулам, выве­денным при помощи МНК (ГОСТ 16.305—74)

6 6 6

6 6 6

Для удобства можно составить таблицу почленного расчета формул. Окончательно:

lgα=

b=

Получили следующее аналитическое выражение экспери­ментальной зависимости (Р—b)= — 16,2* . Для первого приближения такое выражение достаточно адекватно отража­ет зависимость P=f(a) за исключением концов графика. По­следнее говорит о более сложной зависимости типа у = (x)* (x) и о проведении дополнительных расчетов либо по усложненной эмпирической формуле, либо по системе нор­мальных уравнений. В нашей работе ограничимся первой мо­делью.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: