Всестороннее сжатие

Так называется деформация, возникающая в твердом теле, помещенном в среду с постоянным давлением (например, в газ). Рассмотрим деформацию всестороннего сжатия тела в форме прямоугольного параллелепипеда, имеющего размеры . На все его грани действует одинаковое давление, которое и равно напряжению на гранях. Эти напряжения сжимают тело (см. рис. 2). На рисунке показаны оси координат и обозначены напряжения на гранях, перпендикулярных этим осям. Ось «OX» направлена вдоль грани параллелепипеда, имеющей размер х, ось «OY» ¾ вдоль грани с размером y. Очевидно, что при всестороннем сжатии . Обозначим эти равные друг другу напряжения через s. Поскольку закон Гука устанавливает линейную связь между напряжением и деформацией, для расчета деформации, вызванной несколькими напряжениями, можно использовать принцип суперпозиции. Рассмотрим применение этого принципа на примере вычисления деформации вдоль оси «ОХ». Эта деформация равна сумме деформаций, возникающих под действием напряжения , и независимо друг от друга. Пользуясь законом Гука, вычислим относительную деформацию , возникающую только под действием напряжения : . Напомним, что отрицательный знак деформации соответствует уменьшению размера.

Применяя закон Гука и используя связь между продольной и поперечной деформациями (1), вычислим относительную деформацию , порожденную только напряжением :

.

Наконец, таким же способом найдем относительную деформацию , возникающую только под действием напряжения вдоль оси «OZ»:

.

Согласно принципу суперпозиции, полная относительная деформация вдоль оси «OX» равна:

Таким же образом находим полные относительные деформации вдоль двух других осей координат:

,

.

Определим величину относительной объемной деформации при всестороннем сжатии , где V ¾ объем тела, а DV ¾ абсолютное изменение объема. , . Найдем дифференциал логарифма объема: . При малых деформациях дифференциалы переменных можно заменить их приращениями. В результате получаем формулу для относительной объемной деформации:

.

Отсюда следует выражение для величины напряжения при объемной деформации:

,

где величина называется модулем объемной деформации.

Чистый сдвиг

Чистым сдвигом называется деформация, возникающая под действием сил, изображенных на рисунке 3. Тело кубической формы подвергается воздействию четырех сил одинаковой величины F, равномерно распределенных по соответствующим граням и приложенных параллельно этим граням. Равновесие тела обеспечивается тем, что силы, приложенные к противоположным граням, имеют взаимно противоположные направления.

На рис. 3 изображена проекция в плоскости, перпендикулярной оси «OZ». Деформация тела характеризуется углом поворота грани g вокруг этой оси относительно ее начального положения. Напряжения на гранях при воздействии сил, параллельных граням, называются касательными напряжениями. Их величина , где S ¾ площадь грани.

Выполним вычисление g в зависимости от напряжений на гранях t. Как и прежде, будем считать величину деформации (угол g) малой. Рассмотрим равновесие частей деформированного кубика, разрезанного вдоль большей диагонали D1 плоскостью, параллельной оси «OZ». Эти части изображены на рис. 4. Обозначены площади диагонального сечения (при вычислении площади мы пренебрегаем изменением длины диагоналей при деформации кубика, считая их незначительными), площади граней кубика, S и силы, действующие на внешних гранях кубика, а также внутренняя сила , возникающая при взаимодействии разрезанных частей кубика.

Вычислим величину и направление силы , используя условия равновесия одной из частей разрезанного кубика, например I. Векторная сумма сил, действующих на эту часть, должна равняться нулю:

.

Запишем проекции этого равенства на оси координат:

Отсюда следует, что сила лежит в плоскости «XOY» () и расположена под углом 45⁰ к оси «OY» (). Следовательно, сила перпендикулярна диагональной грани рассматриваемой части кубика и, следовательно, порождает внутреннее нормальное напряжение сжатия:

Мы получили следующий результат: внутри кубика существуют нормальные напряжения сжатия по направлению, перпендикулярному диагонали D1 ( т.е. вдоль другой диагонали, D2) и равные касательному напряжению на его внешних гранях.

Эти результаты позволяют перейти к расчету деформации кубика вдоль его диагоналей, зная которые, можно будет вычислить угловую деформацию кубика, g.

Рассмотрим относительные деформации маленького кубика, расположенного внутри деформированного объема и ориентированного так, что его грани перпендикулярны диагоналям D1 и D2. На рис. 5 показан этот кубик и действующие на его гранях внутренние напряжения s (). Относительная деформация диагоналей D1 и D2 будет равна относительным деформациям выделенного кубика вдоль направления этих диагоналей. Их мы определим с помощью закона Гука и соотношения между поперечными и продольными относительными деформациями, используя принцип суперпозиции. Рассмотрим относительную деформацию диагонали D1, возникающую только под действием растягивающих напряжений s, направленных вдоль этой диагонали. По закону Гука . Теперь рассмотрим относительную деформацию диагонали D1, возникающую под действием только сжимающих напряжений s вдоль другой диагонали, D2. Эта деформация будет поперечной, и ее величину можно найти с помощью соотношения (1): , где ¾ относительная деформация диагонали D2 под действием только сжимающих напряжений s. С помощью закона Гука находим . Знак минус в этой формуле учитывает то, что под воздействием сжимающих напряжений размер тела уменьшается. Используя этот результат, запишем . По принципу суперпозиции получаем полную деформацию диагонали D1, возникающую под действием как сжимающих, так и растягивающих напряжений s.

.

Переходим к вычислению угла g. Это задача чисто геометрическая. Будем считать деформации такими малыми, что , где a ¾ размер грани исходного кубика. На рис. 6 показан вид деформированного кубика в плоскости «XOY». Символом D обозначена длина диагонали в свободном (недеформированном) состоянии. Тогда длина короткой диагонали D2 деформированного кубика и

. (3)

(В последнем преобразовании мы использовали геометрию: D ¾ диагональ квадрата со стороной а).

Теперь вычислим DD геометрически. Из прямоугольного треугольника с катетами а и находим гипотенузу D2: . Считая угол g очень малым, выразим Dа как длину дуги радиуса а, опирающуюся на угол гамма: .

С учетом этого соотношения:

Учитывая то, что g намного меньше единицы, . Окончательно получим выражение для DD:

и

Приравнивая это выражение выражению (3) получаем , откуда следует: . Вспоминая, что нормальное напряжение на гранях выделенного внутреннего кубика (повернутого на 45⁰ относительно наружного) равно касательному напряжению на гранях наружного кубика (), получим вариант закона Гука для чистого сдвига:

(4)

где величина называется модулем сдвига.

На рисунке 7 представлена схема рассматриваемой деформации, поясняющая смысл ее названия «деформация сдвига». Если недеформированный кубик разделить мысленно на стопку тонких параллельных основанию слоев, то можно видеть, что в деформированном кубике эти слои сдвинуты относительно друг друга.

Естественным параметром, количественно описывающем такую деформацию, служит угол «перекоса» стопки g.

Чистое кручение

Рассмотрим деформацию чистого кручения на примере стержня, имеющего форму прямого кругового цилиндра. Такой вид деформации возникает при воздействии на торцы цилиндра двух равных по величине и противоположных по направлению моментов сил М, направленных вдоль оси цилиндра и равномерно распределенных по площади торцов. На рис. 8 показана деформация такого цилиндра. Ее можно представить, как совокупность взаимных поворотов бесконечно тонких слоев, на которые разделен цилиндр плоскостями, перпендикулярными своей оси. При чистом кручении слои остаются плоскими, т.е. сохраняют свою форму и размеры. Для наглядности на рисунке показаны слои достаточно большой толщины. Показан угол j, на который повернулся верхний торец цилиндра относительно нижнего. Этот угол является количественной мерой деформации чистого кручения и называется углом кручения. При упругой деформации чистого кручения закон Гука имеет вид:

, (5)

где величина f называется модулем кручения. Наша задача ¾ выразить модуль кручения.

Рассмотрим деформацию бесконечно тонкого слоя цилиндра высотой dz. Его верхнее сечение повернулось на угол dj относительно нижнего. На рис. 9 показана ось «OZ» и положительный относительно этой оси угол dj. Показаны моменты сил упругости и , действующие на рассматриваемый слой со стороны отброшенных частей цилиндра. Выделим внутри этого слоя бесконечно малый элемент объема, который в недеформированном слое имел форму прямого прямоугольного параллелепипеда высотой dz с двумя гранями, расположенными перпендикулярно радиусу и двумя гранями, расположенными перпендикулярно радиусу цилиндра.

После деформации все слои этого элемента объема сместятся параллельно основанию, т.е. этот элемент объема испытывает деформацию сдвига. Угол сдвига будет зависеть от угла кручения, расстояния элемента объема от оси цилиндра и высоты цилиндра, h. Найдем вид этой зависимости.

На рис. 10 показаны размеры и форма рассматриваемого бесконечно малого (в дальнейшем б.м.) объема в недеформированном состоянии и после его деформации.

Обозначения на рисунке: dz ¾ толщина слоя, da ¾ угловой размер б.м. объема, r ¾расстояние этого объема от оси цилиндра, ¾ размер б.м. кубика в тангенциальном направлении, dr ¾ размер б.м. кубика в радиальном направлении, dj ¾ угловая деформация кручения цилиндрического слоя, g ¾ угловая деформация сдвига б.м. объема, D ¾ линейное перемещение верхней грани б.м. кубика относительно нижней при деформации сдвига, t ¾ касательные напряжения сдвига на гранях б.м. кубика, параллельных основаниям цилиндра (на двух других гранях имеются касательные напряжения той же величины, но они не показаны на рисунке).

Выразим угловую деформацию кручения dj через угол кручения цилиндра j. Поскольку все бесконечно тонкие слои одинаковой толщины dz испытывают воздействие одинаковых скручивающих моментов сил, их деформации dj одинаковы. Отсюда вытекает, что угол кручения цилиндра, имеющего высоту h, равен произведению dj на количество слоев толщиной dz, т.е. . Откуда .

Найдем теперь угловую деформацию сдвига g. Для этого выразим линейное смещение верхней грани D, с одной стороны, через g, а с другой ¾ через dj: . Отсюда . Вычислим момент сил упругости через касательные напряжения t. Используем закон Гука для деформации сдвига (4) и получаем: . К грани кубика с площадью приложена касательная сила . Проекция момента этой силы на ось «OZ» равна . Интегрируя по площади верхнего сечения цилиндрического слоя, получаем (через обозначен внешний радиус цилиндра).

Проекция момента внешних сил на ось «OZ», т.е. М, приложенных к верхнему сечению всего цилиндра, равна найденной проекции момента сил упругости:

(6)

Сравнивая это выражение с формулой (5), находим выражения для модуля кручения:

(7)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: