Нахождение главных осей

Главные оси во многих случаях могут быть найдены без громоздких математических расчетов, которые надо провести для диагонализации тензора инерции. Для этого иногда бывает достаточно воспользоваться простыми соображениями симметрии. Пусть имеется плоская пластинка бесконечно малой толщины. Точка, через которую проходят главные оси, лежит на пластинке. Направим ось перпендикулярно ей. Очевидно, что координаты всех точек пластинки равны нулю, т.е. все . В этом случае из формулы (3) имеем . Следовательно, любая ось, перпендикулярная этой пластинке, будет главной. Две другие главные оси расположены в плоскости пластинки взаимно перпендикулярно друг другу. Их направление зависит от формы пластинки.

Рассмотрим случай круглой пластинки (рис.3) конечной толщины. Точка , лежащая в средней плоскости пластинки, есть точка, относительно которой надо найти главные оси. Очевидно, что одна главная ось направлена перпендикулярно плоскости пластинки. Утверждается, что другой главной осью является ось, лежащая в средней плоскости и проходящая через эту точку и центр диска. Эта ось на рис.3 взята за ось . Убедимся в этом. Имеем:

Видно, что и из-за симметрии пластинки относительно плоскостей и . Таким образом, выбранная ось действительно является главной. Третья главная ось однозначно определяется двумя найденными, будучи перпендикулярной им обеим. Проверим, что ось действительно является главной. Имеем:

(7)

Равенства обусловливаются симметрией пластинки относительно плоскости .

Если круглая пластинка имеет значительную толщину, то она называется круглым цилиндром. Все изложенные о главных осях пластинки соображения остаются, конечно, справедливыми и для цилиндра.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: