Множини. Деякі приклади числових множин

Множина – одне з важливіших понять математики, не означається через які-небудь інші елементарні поняття і вводиться аксіоматично. Описати термін множини можна як сукупність, об’єднання, набір деяких об’єктів довільної природи — елементів множини. Наприклад, множина книг в бібліотеці, множина книг в бібліотеці з даної галузі знань, множина студентів факультету, множина парних чисел, множина точок заданого відрізка і т.п. Як бачимо з прикладів множини можуть бути скінченними або нескінченними. Множини прийнято позначати великими буквами а їх елементи – малими, наприклад, .

Якщо елемент належить множині , то пишуть , якщо ж елемент не належить множині , то тоді пишуть або .

Множина, що не містить жодного елемента називається порожньою і позначається .

Розглянемо деякі означення.

Означення 1. Дві множини і називаються рівними (позначають ), якщо вони складаються з однакових елементів.

Означення 2. Множина називається підмножною множини , якщо кожний елемент множини є елементом множини .

Це позначається так: і читається “ міститься в ” або “ включає ”. Очевидно, що порожня множина включається в будь-яку множину : .

Наприклад, якщо множина складається із елементів 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (позначають ), а , то .

Означення 3. Множина елементів , які належать множині або множині , або і , називається об’єднанням цих множин і позначається .

Означення 4. Множина елементів , які належать обом множинам і називається перерізом множин і і позначається

Якщо, наприклад, і – це множини точок, що належать двом фігурам відповідно, то схематично на рис.1 зображені їх об’єднання у випадках а) і б). На рис.2 зображено переріз множин і .

Рис.1.

Рис.2.

Означення 5. Різницею множин і називається множина , що містить ті елементи , які не є елементами множини (див. рис.3).

Рис. 3.

Задача. Нехай . Знайти: .

Наведемо приклади відомих множин.

Множина натуральних чисел: .

Множина цілих чисел: .

Множина раціональних чисел – це числа вигляду , де

і – цілі числа, . Нагадаємо, що раціональні числа можуть виражатися десятковими дробами: скінченними або періодичними.

Числа, які виражаються нескінченними неперіодичними десятковими дробами називаються ірраціональними.

Об’єднання всіх раціональних і ірраціональних чисел утворюють множину дійсних чисел.

Має місце включення .

Між множиною дійсних чисел та множиною точок числової вісі існує взаємно однозначна відповідність.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: