Абсолютна величина. Властивості абсолютних величин

Означення. Абсолютною величиною або модулем (позначається ) називається невід’ємне значення, що збігається з , якщо , і взяте із знаком мінус, якщо , тобто

Наприклад,

Мають місце такі властивості модулів:

Доведемо деякі із них. Спочатку переконаємось у вірності (2). Розглянемо два випадки:

а) , тоді згідно (1) . В той же час , тому за (1) маємо Отже Тепер нехай , тоді за (1) маємо В той же час , тому Отже

Доведення нерівностей (3).

а) Якщо , то в першому співвідношенні , а в другому .

б) Якщо ж , то , а .

Аналогічно доводиться (4). Нехай

а) , тоді згідно (1) , а згідно з (3) далі маємо .

б) , тому знову таки згідно (1), (3) і (2) маємо

Властивість доведена.

Доведення нерівності (5).

Аналогічно

Оскільки , то із отриманих співвідношень випливає нерівність (5).

Нерівності (6) і (7) пропонуємо довести самостійно.

Звернемо увагу, що абсолютній величині можна дати геометричне пояснення: якщо задати на числовій осі точку з абсцисою , то – це відстань цієї точки до точки .

Означення та властивості модулів застосовуються при дослідженні функцій, побудові їх графіків, розв’язуванні рівнянь і нерівностей, які містять модулі.

Розглянемо деякі приклади.

Приклад 1. а) Побудувати графік функції .

Розв’язання. Згідно (1)

Тому графіком функції буде ламана, див. рис. 1.

Рис. 1.

б) Розв’язати рівняння

Розв’язання. Користуючись зображенням за формулою (8) розв’язуємо спочатку рівняння на інтервалі . Оскільки , то

Якщо ж то , тому

Якщо , то маємо єдиний розв’язок .

Відповідь: .

Зауважимо, що розв’язки і легко зрозуміти із

рис. 1. А якщо виходити з геометричного змісту абсолютної величини, то, очевидно, що на відстані від точки на осі знаходяться дві точки і .

в) Розв’язати нерівність

Розв’язання можна здійснити на кожному з інтервалів і , або простіше скористатись рис.1, з якого видно, що графік ламаної знаходиться не вище прямої для , тобто

де . (9)

г) Розв’язати нерівність

Розв’язок запишемо згідно з рис.1

Співвідношення (9) і (10) будуть використовуватись в подальшому.

Приклад 2. Записати без знака модуля вираз для функції . Побудувати її графік.

Розв’язання. Прирівняємо підмодульний вираз до нуля: . Тепер розіб’ємо вісь на два інтервали: і .

І ІІ

–2

Якщо , то , тому згідно з (1) .

Якщо ж , то , тому . Отже

Будуємо окремо графіки: для і для . (див. рис.2)

Рис.2

Ми бачимо, що графік функції можна отримати паралельним перенесенням графіка вліво вздовж осі на дві одиниці.

Очевидно, що в загальному графік функції можна отримати паралельним перенесенням графіка у напрямку осі на одиниць вправо, якщо і вліво, якщо .

Як і в прикладі 1 після побудови графіка можна легко знаходити розв’язок рівняння , а також нерівностей .

Приклади. Знайти розв’язки:

1) . 2) . 3) .

Відповіді: 1. . 2. . 3. . Приклад 3. Побудувати графік функції .

Розв’язання. Аналогічно попередньому прирівняємо до нуля підмодульний вираз:

Розбиваємо вісь на три інтервали

І. Якщо , то тому , і

ІІ. Якщо , то і , а і , тому

ІІІ. Якщо , то тому

Отже, для нашої функції маємо:

Рис.3.

Завдання 1.

1. Побудувати графік функції .

2. Розв’язати рівняння . Відповідь: .

3. Розв’язати нерівність . Відповідь:

4. Побудувати графік функції .

5. Записати вираз для функції без модуля. Переконатись, що її графік відповідає зображеному на рис. 4.

6. Записати вираз для функції без модуля. Побудувати її

Рис. 4.

Корисно звернути увагу на принцип побудови графіка функції , якщо відомий графік . Сподіваємось, що цей принцип зрозумілий із рис.5, де пунктиром зображено графік , а суцільною лінією .

На інтервалах, де обидва графіки збігаються, а там де , необхідно відобразити графік симетрично

Рис.5

Завдання 2.

1. Користуючись результатами задач 5 і 6 попереднього завдання, а також сформульованим принципом, побудувати графіки

і .

Розв’язати рівняння та нерівності

Відповіді: 2. 1. 3. 0; 5 4. 5. (0; 0,4).

6. (-2; 3)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: