Алгебраические критерии устойчивости

Для линейной системы уравнения её движения в пространстве состояний можно представить в следующем виде:

где

Или в развернутой форме:

Любое частное решение однородной системы вида:

будет обращаться в тождество, где λi произвольные числа.

Подставляем в частное решение и после очевидных преобразований получим следующую систему линейных однородных алгебраических уравнений из которых можно найти λi:

Решая эту систему можно найти xi. Известно, что нетривиальное решение такой системы будет при условии равенство нулю главного определителя системы

Это и будет характеристическое уравнение системы, a λ,1λ,2....λn являются корнями характеристического уравнения.

Получив характеристическое уравнение системы можно определить устойчивость по корням этого уравнения. Для этого запишем общее решение системы

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы

Это условие выполняется в случае, если все корни характеристического уравнения будут "левыми", т.е. будут иметь отрицательные действительные части и располагаться слева от мнимой оси комплексной плоскости.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: