Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Площадь параллелограмма 1 страница




Среди проблем, над которыми я работал, была задача на определение площади параллелограмма.

Не знаю, получите ли вы от результатов моих опытов такое же удовольствие, какое испытал я. Мне кажется, что получите, если последите за мной, разберетесь в су­ществе проблемы и почувствуете трудности, которые воз­никали на пути и для преодоления которых я должен был находить средства и методы, чтобы психологически уяс­нить выдвинутую проблему.

I

1. Я прихожу в класс. Учитель говорит: «На преды­дущем уроке мы научились определять площадь прямо­угольника. Все ли знают, как это делать?»

Ученики отвечают: «Все». Один из них выкрикивает: «Площадь прямоугольника равняется произведению двух его сторон». Учитель одобряет ответ и затем предлагает несколько задач с различными размерами сторон, которые все были сейчас же решены.

«А теперь, — говорит учитель, — мы пойдем дальше». Он чертит на доске параллелограмм: «Это параллелограмм. Параллелограммом называется плоский четырехугольник, противоположные стороны которого равны и параллель-

Рис. 1

ны». Тут один ученик поднимает руку: «Скажите, пожа­луйста, чему равны стороны?» «О, стороны могут быть самой разной длины, — отвечает учитель. — В данном слу-

чае величина одной из сторон равна 11 дюймам, другой — 5 дюймам». «Тогда площадь равна 5x11 квадратным дюй­мам». «Нет, — говорит учитель, — это неверно. Сейчас вы узнаете, как определяется площадь параллелограмма». Он обозначает вершины буквами а, b, с, d.

«Я опускаю один перпендикуляр из левого верхнего угла и другой — из правого верхнего угла.

Продолжаю основание вправо.

Обозначаю новые точки буквами e и f».

Рис. 2

С помощью этого чертежа он приступает затем к обычному доказательству теоремы, согласно которой пло­щадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, устанавливая равенство некоторых отрезков и уг­лов и равенство двух треугольников. В каждом случав он приводит ранее выученные теоремы, постулаты или ак­сиомы, с помощью которых обосновывает равенство. Нако­нец, он заключает, что теперь доказано, что площадь параллелограмма равна произведению основания на вы­соту.

«Вы найдете доказательство теоремы, которое я вам показал, в своих учебниках на с. 62. Выучите урок дома, тщательно повторите его, чтобы твердо запомнить».

Затем учитель предлагает несколько задач, в ко­торых требуется определить площади параллелограммов различных размеров, с разными сторонами и углами. По­скольку этот класс был «хорошим», задачи были решены правильно. В конце урока учитель задает в качестве до­машнего задания еще десять задач такого же типа.

2. Днем позже я снова оказался в том же классе на следующем уроке.

Урок начался с того, что учитель вызвал ученика и попросил его показать, как определяется площадь парал­лелограмма. Ученик блестяще продемонстрировал это.

Было видно, что он выучил урок. Учитель шепнул мне: «И это не самый лучший из моих учеников. Без сомне­ния, остальные тоже хорошо выучили урок». Письменная контрольная работа дала хорошие результаты.

Многие скажут: «Замечательный класс; цель обучения достигнута». Но, наблюдая за классом, я чувствовал ка­кое-то беспокойство. «Что они выучили? — спросил я се­бя. — Думают ли они вообще? Поняли ли они решение? Не является ли все, что они делают, лишь слепым повто­рением? Безусловно, ученики быстро выполнили все за­дания учителя и, таким образом, усвоили нечто общее. Они могли не только слово в слово повторить сказанное учителем, наблюдался также и некоторый перенос. Но по­няли ли они вообще, в чем тут дело? Как я могу это вы­яснить? Что нужно сделать?»

Я попросил у учителя разрешения задать классу во­прос. «Пожалуйста», — с готовностью ответил учитель.

Я подошел к доске и начертил такую фигуру.

 

Рис. 3 Рис. 4

Некоторые ученики явно растерялись.

Один ученик поднял руку: «Учитель нам этого не объ­яснял».

Остальные занялись задачей. Они срисовали чертеж, провели вспомогательные линии, как их и учили, опустив перпендикуляры из двух верхних углов и продолжив осно­вание (рис. 4). Они были сбиты с толку, озадачены.

Другие же совсем не казались несчастными. Они уве­ренно писали под чертежом: «Площадь равна произведе­нию основания на высоту» — правильное, но, по-видимо­му, совершенно слепое утверждение. Когда же их спро-

сили, могут ли они доказать это с помощью данного чер­тежа, они были весьма озадачены1.

Третьи вели себя совершенно иначе. Их лица светле­ли, они улыбались и проводили на рисунке следующие линии или поворачивали лист на 45° и тогда выполняли задание (рис. 5А и 5Б).

Рис. 5А Рис. 5Б

Увидев, что только небольшое число учеников справи­лось с задачей, учитель с оттенком неудовольствия сказал мне: «Вы, конечно, предложили им необычный чертеж. Естественно, что они не смогли с ним справиться».

Между нами говоря, не думаете ли и вы: «Не удиви­тельно, что, получив такую незнакомую фигуру, многие не смогли с ней справиться». Но разве она менее знако­ма, чем те вариации первоначальной фигуры, которые да­вал им ранее учитель и с которыми они справились? Учи­тель давал задачи, которые сильно варьировались в от­ношении длины сторон, величины углов и площадей. Эти вариации были явными, и ученикам они вовсе не казались сложными. Вы, быть может, заметили, что мой паралле­лограмм — это просто повернутая первоначальная фигура, предложенная учителем. В отношении всех своих частей она не больше отличается от первоначальной фигуры, чем вариации, предложенные учителем.

1 Мальчик из другого класса, видя их затруднения, шепнул мне: «В нашем классе проходили задачи с этими перекрывающи­мися фигурами. Тут виноват учитель. Почему он не рассказал, как работать с такими чертежами?» К моему удивлению, именно с этого сложного доказательства иногда начинается изложение в учебниках. Ученикам не только трудно понять его; оно также со­вершенно необязательно для решения задач.

 

Здесь я коротко расскажу об экспериментальной рабо­те с детьми, которых научили определять сначала пло­щадь прямоугольника, а затем площадь параллелограмма (научили проводить вспомогательные линии и получать результат: произведение основания на высоту) и которые знали или не знали доказательство. Потом им задавали вопросы о фигурах, отличавшихся от первоначальной.

Рис. 6

3. Встречаются крайние случаи бессмысленных реак­ций, когда ученик после предъявления такой простой фи­гуры, слепо повторяя слова учителя, бормочет: «Один перпендикуляр из левого верхнего угла», проводит его и затем говорит: «Другой — из правого верхнего угла», про­водит и его, затем: «Продолжить линию основания впра­во» — и, таким образом, получает следующий чертеж:

Рис. 7

4. Однако бывает, что даже шестилетний ребенок, ни­чего не знающий о геометрии, едва знакомый со способом определения площади прямоугольника, находит самостоя­тельно красивое и оригинальное решение для параллело­грамма, хотя его вовсе этому не учили. Некоторые из этих случаев будут описаны в третьей части данной главы.

Бывает также, что, выучив или обнаружив, как опре­деляется площадь параллелограмма, дети, которых просят найти площадь трапеции или любой из приведенных ниже фигур, оказываются вовсе не беспомощными и после неко­торых колебаний, иногда после небольшой подсказки, предлагают прекрасные, подлинные решения типа опи­санных ниже.


Вот эти задания:

Рис. 8

Для всех этих фигур решение возможно посредством осмысленного изменения фигуры (А -ответы), а не слепого и безуспешного применения заученных операций или некоторых из них (В -ответы).

А —ответы

 

Рис. 8А

Испытуемые превращают фигуры в прямоугольники, сдвигая треугольники. Они не дают

В —ответы

 

Рис. 8Б

5. Но остальные дают В -ответы или беспорядочно че­редуют А- и В- ответы. Многие ученики вообще отказы­ваются приступить к решению задач 1, 2 и 3, говоря: «Откуда нам знать? Мы этого не учили».

6. Тогда я провел с детьми эксперимент. Сразу же после демонстрации того, как определяется с помощью вспомогательных линий площадь параллелограмма, я клал

Примеры

А -фигур В -фигур

Рис. 9

перед ними отдельные фигуры или пары А- и B -фигур. В этих парах фигур один из членов пары, B -фигура, не имеет осмысленного A -решения, тогда как для A -фигуры возможно A -решение. Некоторым детям кажется, что А- и B -фигуры не отличаются друг от друга. Все они являются новыми. «Откуда нам знать!» — вот их позиция. Они либо никак не реагируют, либо если и реагируют, то не дифференцируют А- и B -фигуры, проводят вспомо­гательные линии и отвечают наугад.

Другие же последовательно решают A -задачи и иногда через короткое время отвергают B -задачи со словами: «Этого я не могу сделать, я не знаю, чему равна пло­щадь», или даже: «Я не знаю, какова площадь этих не­больших остаточных элементов». В отличие от этих слу­чаев в A -случаях площадь остатков, как правило, не упо­минается; или же ребенок говорит: «Я, конечно, не знаю

площади этих маленьких фигур, но, поскольку они рав­ны, это не имеет значения».

Рис. 10

7. В приводимых здесь фигурах A -фигуры, если рассматривать их по частям, сильнее отличаются от перво­начальной фигуры, чем B -фигуры. Поэтому простая ссыл­ка на «знакомость», очевидно, не может служить объясне­нием позитивных реакций — решения в A -случаях и отка­за от решения в B -случаях.

Наши наблюдения в опытах с АB -парами уже со­держали примеры экспериментального анализа. Хотя за­дача кажется достаточно простой, на классных занятиях иногда встречаешься с глупыми ответами.

8. На следующем этапе экспериментального анализа вместо одной фигуры давались два подвижных твердых тела. Они могли быть отделены или примыкать друг к другу в различных положениях:

А

 

Рис. 11

И в этом случае возможны — и иногда встречаются глупые ответы.

9. Для того чтобы уяснить возникающие здесь теоре­тические вопросы, полезно рассмотреть крайние случаи. Рассмотрим следующую глупую реакцию.

Рис. 12 Рис. 13

Ученика учат доказательству теоремы о площади па­раллелограмма с помощью фигуры, начерченной на мил­лиметровой бумаге. Проводятся дополнительные линии. Сторона а оказывается равной 5 дюймам, длина отрезка с равна 3 дюймам.

Учитель говорит: «Посмотри! Из каждого верхнего уг­ла я опускаю перпендикуляр длиной в 4 дюйма; я про­должаю линию основания вправо на 3 дюйма, ты можешь ее измерить».

Через некоторое время дается другой пример — парал­лелограмм с другими размерами. Допустим, что ученик отвлекся, возможно, на экспериментатора, или подумал о предстоящей игре или о том, где сейчас находится его мама; допустим, что он повторяет про себя: «Четыре дюй­ма вниз, три дюйма вправо» — и робко чертит фигуру, по­казанную на рис. 13.

Когда его спрашивают, удалось ли ему достигнуть це­ли— определить площадь, он отвечает: «Нет», но пока что не может продвинуться дальше. Сам я не сталкивал­ся с таким ответом, но он вполне возможен. Как известно учителям, так происходит в случаях более сложных струк­тур.

Очевидно, что это крайний случай B -реакцпи — слепое, игнорирующее контекст подражание тому, что делал учи­тель. Каждому понятно, чем плохо такое подражание. Но что оно означает с теоретической точки зрения? Мож­но сказать: «Этот ребенок не смог должным образом при-

менить выученный материал к новой ситуации». Но что значит применить «должным образом»?

Или можно сказать: «Ясно, что в этом случае отсут­ствует обобщение» — и покончить с проблемой как с ре­шенной. Но решена ли она действительно? А как быть с глупыми обобщениями, которые остаются тем не менее обобщениями? А что если ребенок обобщит описанный выше пример так (правда, я не встречал таких случаев): «Перпендикуляры должны быть на один дюйм длиннее продолжения основания», или: «Длина перпендикуляра должна выражаться четным числом» и т. д. — и что если он будет соответствующим образом действовать?

Признание того, что здесь имеет место обобщение, не означает решения проблемы. Конечно, здесь имеет мес­то обобщение, но оно происходит в обоих случаях. Часто указание на обобщение не является ответом на вопрос, ско­рее оно скрывает проблему.

10. Что же действительно происходит в АВ- реакци­ях, в А — B -случаях? Я получил характерные данные: встречаются разумные реакции, когда испытуемый отка­зывается слепо применять заученный материал к B -проблемам и находит разумные, правильные решения в A -случаях, меняя обычную процедуру, как того требует здра­вый смысл. И встречаются слепые реакции, когда испытуемые не могут решить А- или B -задачу или тупо применяют заученные приемы 1.

Если испытуемый применяет заученный прием к ва-

1 В действительности бессмысленные построения в примерах, приведенных на с. 47, встречаются сравнительно редко. Дети со спонтанной естественной установкой не склонны вести себя по­добным образом. Привычка к бездумному подражанию, развивае­мая в некоторых школах благодаря упору на слепое натаскивание, по-видимому, способствует таким реакциям; то же можно ска­зать о ситуациях, когда такую установку создают рассеянность, отвлекаемость или другие индивидуальные особенности. В школах, ориентируемых на механические упражнения, часто формируется установка при столкновении с новой задачей ждать, что покажут готовое решение; когда ученика просят попробовать решить задачу самостоятельно, часто сталкиваются лишь с пассивным отказом: «Мы этого не проходили».

То, что психолог испытывал какое-то беспокойство на уроке (см. с. 42), означает, что он почувствовал эту атмосферу натаски­вания, царящую в классе. Описанное нами поведение, по-видимому, тесно связано с установкой на повторение, на слепое подражание учителю: обычно маленьких детей не слишком смущает простран-

 

риации первоначальной задачи, не сознавая, что в данном случае он неуместен, то это свидетельствует о непонима­нии самого приема или о неспособности понять, что яв­ляется существенным в измененной задаче. Но если он адекватно и последовательно ведет себя в A -случаях, даже когда отдельные части измененной задачи сильно отли­чаются от первоначальной, и если он в то же время отка­зывается применять заученный прием к более близким B -вариациям, то это значит, что он действительно понял задачу. Таким образом, АB -вариации при системати­ческом исследовании могут служить основой «операцио­нального определения» понимания. И с помощью АВ- метода в ходе экспериментального анализа могут быть ис­следованы различные структурные факторы.

В чем состоит основное различие между этими двумя типами реакций на вариации? В чем с психологической точки зрения заключается проблема? Как испытуемый ищет A -решения? Каким образом он различает А- и B -процедуры?

Во-первых, можно сказать: «Различие очевидно. B -реакции в отличие от А -реакций не ведут к правильному решению». Но это утверждение лишь ставит проблему, а не решает ее.

Во-вторых: «Решающее значение имеет степень сход­ства с первоначальной задачей». Нет. Сходство действи­тельно играет роль. Но какое сходство? Если рассматри­вать отдельные части, то окажется, что B -случаи часто ближе к первоначальной задаче, чем A -случаи.

В-третьих: объясняется ли суть дела «обобщением»? Нет. Конечно, во всех этих случаях имеет место обобще­ние, но, как было уже сказано, с глупой B -реакцией мо­жет быть связана такая же степень обобщения, как и с A -реакцией. Таким образом, обобщение само по себе ни­чего не объясняет. Ссылка на обобщение может, конечно, оказаться полезной, если мы будем говорить о «правиль-

ственное расположение фигур (см.: Stern W. Über verlagerte Ra­umformen. — "Zeitschrift für Angewandte Psychologie", 1909, Vol. 2, S. 498-526).

Встречаются и взрослые, которые в дальнейшей жизни сохра­няют приобретенную привычку к слепым, механическим действи­ям. Удивительно, как образованные и в других отношениях вполне разумные люди иногда ведут себя в сходных ситуациях, особенно в случае «Einstellung» (установка), (см. главу 4, раздел 3, а также главу 6 и приложения 2, 3 и 4).

но выбранном обобщении». Но что мы должны понимать под этим уточнением? То, что оно ведет к решению? Это опять напоминает первое утверждение.

В-четвертых, положение дел не изменится, если ска­зать (правильно), что различные A -случаи характеризу­ются тем, что «схватываются» существенные отношения, схватывается то, что действительно релевантно. Но что означает такое «схватывание»? Что такое «существенные элементы»? Как определить, что существенно, а что нет? Только по результату?

Теоретические предположения 2, 3 и 4 не позволяют удовлетворительным образом дифференцировать А- и B -реакции. Только первое предположение дифференцирует случаи, но лишь по результату. Ни одно из этих предпо­ложений само по себе не ведет к психологическому пони­манию.

Я предлагаю читателю подумать над этим. Не удов­летворяйтесь поверхностными решениями. Я думаю, что если вы непредубежденно рассмотрите эти примеры, то найдете ответ. Возможно, он будет вертеться у вас на кончике языка, а вы не сможете выразить его никакими словами. Здесь я прерву свой анализ и вернусь к нему несколько позднее.

II

11. Под влиянием сильного впечатления от странного поведения некоторых школьников психолог снова присту­пает к более тщательному рассмотрению проблемы.

Как и в описанном случае, я часто удивлялся поведе­нию некоторых классов во время урока. Обычно ученики покорно следят за этапами доказательства, которое демон­стрирует им учитель. Они повторяют, заучивают их. Со­здается впечатление, что идет «обучение». Ученики обуча­ются? Да. Мыслят? Возможно. И в самом деле понимают? Нет.

Для прояснения дела была попробована следующая экспериментальная процедура.

Сейчас я скажу нечто странное, даже дикое. Видите ли, по теоретическим основаниям психолог вынужден иногда применять методы, которые для него самого не яв­ляются приятными.

Вместо того чтобы воспользоваться обычным разумным методом определения площади параллелограмма, учени-

кам говорят: «Для определения площади параллелограм­ма следует измерить стороны — назовем их а и £ тить на основании точку, расположенную прямо под верх­ним левым углом; затем измерить расстояние между левой

Рис. 14 вершиной и этой точ­кой — назовем его с. На нашем чертеже а = 5 дюймов, b = 9 дюймов, с = 3 дюйма. Теперь сложите а и с! (а+с... 5+3 = 8)

Вычтите с из а! с...5-3=2). Перемножьте ре­зультаты! (...8X2=16)

Из произведения извлеките квадратный корень! Вы учили, как это делать (... √ 16=4)

Умножьте результат на b, и вы получите площадь... (... 4X9=36)

___________

Формула площади параллелограмма b√(a+c) (ас)».

Процедура уродлива и никогда не придет в голову разумному учителю или математику. Это психологу по­требовалось ввести такой громоздкий, некрасивый и бес­смысленный метод. Но он ведет к правильному результату.

Обычно такая процедура кажется детям странной неестественной, — нельзя не заметить, что они время от времени выключаются из работы. По окончании доказа­тельства одни смотрят на учителя с плохо скрываемым презрением. Другие сбиты с толку или смеются.

Важно то, что в некоторых школах нельзя обнаружить существенной разницы между реакцией учеников на та­кое доказательство и реакцией на разумный метод. Если вы обнаружите, что ученики покорно проглатывают такую процедуру и никак не реагируют на нее, обратите внима­ние на характер их обучения! Думаю, что в нем есть что-то порочное. И я надеюсь, что если вы проделаете такого рода опыты, ваши ученики громко рассмеются или по крайней мере будут весьма смущены. В таких случая) особенно трогательно видеть, с каким упорством, с какой готовностью ученики иногда стремятся повторять слова учителя, как гордятся, если им удается точно воспроиз­вести заученное, решить задачу именно тем способом, ко­торому их учили. Для многих в этом и состоит преподава-

ние и обучение. Преподаватель учит «правильной» про­цедуре. Ученики заучивают ее и могут применить ее в рутинных случаях. Вот и все.

Пусть читатель задумается, не учили ли и его самого в школе таким же образом. Разве не таким способом вас обучали дифференциальному и интегральному исчисле­нию? Или даже теоремам планиметрии и стереометрии? Конечно, у вас были веские основания считать, что учи­тель обучает вас разумным, серьезным вещам, которые необходимо знать. Да и что бы вы могли сделать, как не подчиниться и покорно следить за шагами доказательства учителя, если не понимали, почему он предпринимает именно этот, а не иной шаг? Помогало ли вам покорное следование за учителем, когда вы сбивались с пути?

Полагаю, вы согласитесь, что не помогало. Я не удив­люсь, если вы добавите, что, раз учитель действовал таким образом, значит, он, очевидно, действовал правильно, что, вероятно, не было другого пути. Или вы можете возра­зить: «Нельзя сравнивать этот дикий пример с обычным обучением, в ходе которого учитель излагает разумные вещи и их доказательства».

Ваше последнее замечание совершенно справедливо. В нашем примере не хватает доказательства — этого упу­щения, между прочим, некоторые ученики не замечают. Для того чтобы прийти к правильному решению, нам ну­жен пример, включающий доказательство. Мы рассмотрим этот вопрос в пункте 17.

12. Но давайте сначала закончим наш рассказ. Я спро­сил у класса: «Уверены ли вы в том, что этот результат действительно правилен?» Большинство учеников были просто ошеломлены этим вопросом, удивлены, что он мо­жет быть задан. Их позиция была ясна: «Как вы можете подозревать, что мы сомневаемся в ответе, который вы нам дали?» Вопрос показался им странным, он затрагивал самую суть того, что значили для них школа, преподава­ние и обучение. Ответа не было. Класс молчал.

Я изменил свой вопрос и дружески спросил: «Может ли кто-нибудь из вас показать, что полученный таким образом ответ действительно верен?»

Маленький М. поднял руку. Он казался весьма сообра­зительным и ответил: «Я знаю, как это доказать. Это очень просто. Мы установили, что площадь этого парал­лелограмма равна 36 квадратным дюймам. Я могу выре­зать параллелограмм из жести, положить его на одну ча-

шу точных весов, а на другую положить прямоугольник, площадь которого известна и равна 36 квадратным дюй­мам, — держу пари, они уравновесят друг друга».

«Да, они могут уравновесить друг друга, но можете ли вы показать, что так будет всегда?»

«Отчего же, могу, — ответил он. — Я могу повторить эту процедуру с различными параллелограммами».

То, что сказал этот мальчик, характерно для многих случаев мышления. Теперь у него есть слепая процедура плюс способ проверки с помощью взвешивания. И это все; и он вполне удовлетворен. Эта познавательная операция, так называемая индукция, сама по себе превосходная вещь, она часто необходима и в некоторых отношениях играет важную роль в современных эмпирических науках. Вместе с тем в соединении со слепой и, следовательно, дикой процедурой она не является для настоящего мыс­лителя ни действительным решением, ни конечным ре­зультатом. Хотя современная наука часто и основывается на индукции, она не останавливается на ней. Она продол­жает поиски лучшего понимания. (Приведем в качестве примера открытие Менделеева 1.)

1 В начале XIX в. английский химик Уильям Праут заметил, что атомные веса химических элементов приблизительно кратны весу атома водорода, и высказал предположение, что водород явля­ется materia prima. На основании этой гипотезы де Шанкуртуа заявил в 1862 г., что свойства химических элементов определя­ются числами. В 1871 г. Менделеев опубликовал свою знаменитую периодическую таблицу классификации химических элементов, в которой все элементы были расположены в восьми вертикальных и семи горизонтальных рядах. Это позволило ему показать, что свойства химических элементов, в частности их валентность, из­меняются в соответствии с изменением их атомного веса. Таким образом, атомный вес Менделеев рассматривал как фундаменталь­ную, важнейшую характеристику элементов. Это подтверждалось тем, что он мог предсказывать открытие неизвестных элементов, которые были необходимы для заполнения пустых мест в его таб­лице, исходя из соображений, основанных на периодичности и на регулярном возрастании атомного веса химических элементов.

Хотя классификация Менделеева была представлена им как чисто эмпирическое обобщение, она ясно указывала на фундамен­тальное единство материи.

В 1913 г., основываясь на атомных теориях Резерфорда и Бора, молодой английский ученый Мозли доказал, что именно числом атомов водорода, образующих атом данного элемента, или, точнее, числом протонов и, следовательно, электронов — атомным номером, а не атомным весом объясняются химические свойства элементов.

Так эмпирическое обобщение превратилось в конечном счете в дедуктивную теорию. — Прим. редактора амер. издания.

Будучи важным инструментом на своем месте, индук­ция сама по себе является скорее началом, а не концом. Но в данном случае она незаконна даже как начало, по­скольку не является необходимой и не связана с сущест­вом дела.

13. Рассмотрим для пояснения другой пример. Учитель демонстрирует классу, как определять площадь паралле­лограмма, проводя дополнительные линии, перенося тре­угольники слева направо и показывая в итоге, что пло­щадь равна произведению основания на высоту. В этом примере я предложил учителю использовать параллело­грамм, одна сторона которого, а, равнялась 2,5 дюйма, а другая, b — 5 дюймам. Была измерена высота h, кото­рая оказалась равной 1,5.

Затем я предложил другие задачи, указывая в каждом случае величину сторон а и b; высота измерялась, и сле­довало определить площадь параллелограмма:

 

  а b Высота (измеренная) Площадь не­обходимо вычислить
  2,5   1,5 7,5
  2,0   1,2 12,0
  20,0 1⅓   16,0 21⅓    
    15,0     1⅞ 9,0     16⅞

Ученики решали эти задачи, испытывая некоторые труд­ности с умножением.

Вдруг один мальчик поднял руку. Глядя на тех, кто еще не кончил вычисления, с некоторым превосходством, он выпалил: «Глупо заниматься умножением и измере­нием высоты. Я нашел лучший метод определения пло­щади— он очень прост. Площадь равна а + b».






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных