Площадь параллелограмма 2 страница

«Можешь ли ты как-нибудь объяснить, почему пло­щадь равна а + b?» — спросил я.

«Я могу доказать это, — ответил он. — Я вычислил пло­щадь во всех случаях. Зачем ломать голову, умножая b на h? Площадь равна а + b».

Тогда я дал ему пятую задачу: а =2,5; b =5; высо­та = 2. Мальчик начал считать, пришел в смятение, а за­тем, довольный, сказал: «В этой задаче сложение не дает

площади. Прошу прощения; а было бы здорово!»

«В самом деле?» — спросил я.

Это может служить примером слепого открытия, сле­пой индукции. Осмелюсь утверждать, что ни один разум­ный математик не одобрит столь очевидно бессмысленную индукцию. Он прибегнет к ней только в том случае, если исследуемый вопрос настолько темен, что не приходит в голову никакая идея о возможной разумной внутренней связи.

Могу добавить, что настоящая цель этого «нечестного» эксперимента, который, как вы видели, вполне удался, за­ключалась не просто в том, чтобы навести на ложный путь. Посетив этот класс раньше, я заметил, что в поверх­ностном обращении учеников с методом индукции кроется реальная опасность. Я хотел, чтобы эти ученики — и их учитель — ясно почувствовали рискованность такого отно­шения.

Можно, конечно, сказать, что мальчик ошибся в своей гипотезе просто потому, что она не была универсальной, потому, что она была обобщением, основанным лишь на небольшом числе случаев. Но это значит не понять сути дела. Предложенное равенство — площадь = а + b — бес­смысленно, потому что ничего не говорит о внутренней связи между площадью и а+b, о том, почему оно может оказаться разумным хотя бы в одном — единственном случае, поскольку не существует внутренней связи между ними.

14. Приведу еще более простой пример. Вы спрашивае­те ученика:

1) 12=3 умноженное на сколько? Ответ: 4.

2) 56 = 7 умноженное на сколько? Ответ: 8.

3) 45 = 6 умноженное на сколько?

Предположим, что ученик ответил на третий вопрос: «Семь». И когда вы спросили его, почему он так думает, он сказал: «Разве это не очевидно? Четвертая цифра на единицу больше третьей:

1) 12 3 4

2) 56 7 8

3) 45 6 7».

Разве здесь существенно, что ученик основывал свою «гипотезу» на очень малом числе случаев? Нет. Сама ги­потеза нелепа: увеличение чисел в этом случае не имеет никакого отношения к структуре ситуации, к требовани­ям ситуации, к соединению знаком равенства, к смыслу чисел, расположенных слева, к смыслу знака умножения

в правой части. Оно не связано с теми структурными свойствами, которые обусловливают требования к разумно­му решению или осмысленной гипотезе.

15. Теперь мы приведем дополнительные примеры ди­ких процедур, ведущих к правильному ответу. Ошибоч­ным здесь является не отсутствие доказательства, а то, что ни один из шагов этой процедуры не имеет разумной связи с заданием.

Как определить площадь прямоугольника:

I II

16. Я выбрал искусственные примеры для того, чтобы объяснить суть дела, но подобные вещи случаются и без вмешательства психолога.

Ребенок в школе заучивает вместе с сопутствующими упражнениями формулы для периметра, 2(а + b), и для площади, а ּ b, прямоугольника.

Спустя некоторое время ему предлагаются задачи, тре­бующие вычисления площади прямоугольников в контек­сте решения более широких задач. Ему приходит на ум формула 2 (а+b), и он ошибочно использует ее, даже не подозревая об этом.

Либо он старается вспомнить формулу площади. Он может даже пытаться вспомнить страницу учебника, на которой встречается эта формула, и действительно вспо­минает эту страницу, но формула все же не приходит в голову. Он теряется, смотрит на результат соседа, заме­чает, что найденная площадь равна 25 при сторонах а и b, равных соответственно 10 и 2,5. «Понятно! — говорит он себе. — Теперь я вспомнил, как это делается: 10+2,5= 12,5, умножить это на 2, получается 25; 2(а + b)» — успо­каивается и энергично решает таким способом следующие задачи, получая неверные результаты, но даже не зная об

этом. (Может случиться, что в следующей задаче а =12, b =2,4; так что, взглянув для проверки на результат сосе­да, он убедится в своей правоте.) Ему даже не придет в голову проверить, годится ли вообще в данном случае эта формула. Однако, если бы ученик смело приступил к ре­шению задачи, он, может быть, и сумел бы восстановить самостоятельно даже забытую формулу.

Итак, является ли решающим только то обстоятельст­во, что ученик получил неправильный результат, что его формула не имела общего значения? Для того чтобы за­острить вопрос, представим себе следующую фантастиче­скую ситуацию. Задача вполне может быть решена ма­шиной, которая разрезает прямоугольник на мелкие квад­раты. Вы опускаете прямоугольник в щель, машина начинает работать, маленькие квадраты выпадают из ма­шины и могут быть сосчитаны либо вами, либо суммирую­щим механизмом аппарата. Допустим далее, что в ходе работы машина отбрасывает некоторое число маленьких квадратов, их число зависит от размеров прямоугольника. Вместе с тем машина всегда добавляет четыре квадрата ¹. Такую машину легко сконструировать, и она по общему правилу будет неизменно выдавать результат 2 (а+b).

Исследователь чувствует большое желание заглянуть в машину и выяснить, каким образом почти закономерно получается такой странный результат. Если бы можно было открыть машину и заглянуть внутрь! Но допустим, что это запрещено или даже что такой машины вообще не существует, что все происходит без машины — чудес­ным образом — просто в результате разрезаний и вычис­лений...

Рис. 15

¹ Применение формулы 2 (a + b) для вычисления площади означает, что исчезает площадь т и дважды появляются четыре за­штрихованных квадрата (см. рис 15).

У вас будет универсальный закон, подтверждающаяся неизменно формула, и тем не менее выраженный в этой формуле закон будет диким, слепым, совершенно непости­жимым.

17. Вернемся к нашему вопросу. В наших диких при­мерах отсутствовало доказательство, и могло возникнуть впечатление, что в этом-то и было все дело. В связи с этим рассмотрим, что является условием разумного, осмыслен­ного процесса мышления. Обычно называют следующие условия:

должно быть получено правильное решение,

такое решение достигается благодаря применению ло­гически правильных операций,

правильность результата должна быть доказана, он должен быть правилен во всех случаях.

И это все? Является ли это адекватным отражением того, с чем мы сталкиваемся в реальном, разумном про­цессе?

Рассмотрим процедуру, которая содержит все эти пере­численные признаки и все же остается уродливой. Допу­стим, я рассказываю о площади прямоугольника ребенку, который ничего не слышал о геометрии. Сначала я пока­зываю ему, что площадь квадрата есть а ²: а, умноженное на а. Он усваивает это и вычисляет площади нескольких квадратов различных размеров. Затем я показываю ему прямоугольник и учу находить площадь прямоугольника следующим образом:

Рис. 16

1. Сначала вычти b из а а — b 7—2=5

2. Возведи остаток в квад- (а — b)² 5²=25
рат

3. Возведи b в квадрат и (а—b)²—b² 25—4=21
вычти его из ранее по­-
лученного результата

4. Возведи я в квадрат и (а—b) ² —b ² —а ² 21—49=—28
вычти его из результата 3

5. Умножь результат на a ²+ b ²—(а — b)² +28
—1 (сделай его положи­-
тельным)

6. Раздели результат на 2 аb 14

Это — площадь прямоугольника. Это может быть до­казано геометрически, как показано на рисунке:

Рис. 17

Доказательство сводится к демонстрации равенства двух прямоугольников и вычитанию общей площади b ². Хотя такое доказательство и является несколько замыс­ловатым, оно с логической необходимостью приводит к решению. Эта процедура не столь уродлива, как преды­дущая, но все же и она уродлива.

Вот некоторые реакции детей: «Что делают взрослые! Почему бы сразу не вычислить площадь? Это похоже на случай с квадратом — число маленьких квадратов в ниж­нем ряду нужно умножить на число рядов».

18. Теперь вернемся назад. Почему описанные про­цедуры «уродливы»? В чем здесь дело?

1) Разве операции выполнены неправильно? Нет, в некоторых примерах операции выполнены совершенно правильно.

2) Разве недостает универсальности? Нет, примеры носили самый общий характер и тем не менее оказались уродливыми (см. пункты 11, 15).

3) Разве недостает наглядности в доказательстве? Нет, некоторые примеры содержат доказательство.

Если мы рассмотрим конкретные действия в этих ди­ких примерах, посмотрим, как ученики подходят к задаче, каким образом отдельные этапы мышления связаны с его» общим направлением, то ответ покажется очевидным: я хочу решить задачу, я столкнулся с проблемной ситуаци­ей; я хочу понять, как можно прояснить задачу, чтобы до­стичь ее решения. Я стараюсь понять, как определяется площадь, как она «встроена» в эту фигуру; я хочу по­нять это. Вместо этого приходит некто и говорит, что я должен делать то-то и то-то, например вычислить 1/ а, или 1/ b, или (а— b), или (а — b)², то есть делать вещи, внут­ренне совершенно не связанные с задачей, ведущие меня в другом направлении, — в направлении, чуждом задаче. Почему я должен делать именно это? Мне говорят: «И все-таки делай», а затем добавляется новый шаг, опять веду­щий в непонятном направлении. Эти шаги совершенно непонятны, их содержание, направление, весь процесс не обусловлены внутренними требованиями ситуации, кажут­ся произвольными, не связанными с вопросом, каким об­разом площадь структурно строится из меньших единиц именно в такой форме. В конце концов эти шаги приводят к правильному или даже доказанному результату. Но сам этот результат воспринимается так, что он не приводит к пониманию и ничего не проясняет. И это относится ко всем примерам и с доказательствами, и без доказательств.

«Послушайте, — скажет возмущенный читатель, — а не требуете ли вы от человеческого мышления слишком мно­гого?» Нет, не требую; к счастью, встречаются не столь слепые процессы.

19. Как показывают реакции детей, позитивный, про­дуктивный ход мышления имеет совершенно иной харак­тер. Вопрос о площади в смысле суммы маленьких еди­ничных квадратов рассматривается в связи с фигурой, в связи с ее характерной формой; ребенок обнаруживает, что существуют параллельные ряды, которые прилегают друг к другу, равны друг другу, содержат одинаковое чис­ло маленьких квадратов. Затем число квадратов в одном таком ряду, определяемое длиной одной из сторон, умно­жается на число рядов, определяемое длиной другой сто­роны. Здесь важно понять, что площадь структурирована в соответствии с характерной формой фигуры. Ни один из предполагаемых шагов не является произвольным, не связанным с внутренней природой проблемной ситуа­ция.

Один и тот же результат (площадь= а - b) психологи­чески имеет различный смысл в разумной и дикой про­цедурах: а-b в осмысленной процедуре рассматривается не просто как «произведение двух членов», поскольку один из них означает число квадратов в одном ряду, а вто­рой — число рядов. Множители имеют различное струк­турное и функциональное значение, и, пока это не будет осознано, формула и даже смысл самого умножения не будут поняты.

Рис. 18

20. Я приведу иллюстрацию последнего утверждения. Мальчику показывают прямоугольник, разделенный на маленькие квадратные части. Ему говорят, что общее чис­ло квадратов — площадь — равно а-b. Теперь, перемножая стороны, он может правильно вычислить площадь несколь­ких предложенных ему прямоугольников. Я спрашиваю его: «Ты уверен, что это правильно?» «Конечно, ведь вы меня научили формуле, но, если хотите, я могу пересчи­тать», — отвечает он. И начинает пересчитывать наборы из пяти квадратов следующим образом:

Рис. 19

Закончив подсчет, он поворачивается ко мне: «Вот ви­дите, все верно».

Ясно, что что-то существенное здесь упущено. Мальчик не понял, каким образом из повторения параллельных ря­дов строится площадь. Он не использовал основной струк­турный признак, заключающийся в том, что ряды состоят из одинакового числа квадратов. И таким образом, ему не удалось найти основу осмысленного структурного по­нимания площади.

Другими словами, если бы площадь определялась по­средством вычислений, которые произвел мальчик, то фи­гура совсем не обязательно должна была бы быть прямо­угольником. Подошла бы любая другая фигура, состав­ленная из прилегающих малых квадратов. Действия уче­ника не учитывают внутреннюю связь фигуры с опера­цией умножения.

Подобное структурное понимание (или отсутствие та­кового) играет решающую роль и в переносе. Вот корот­кий пример: в экспериментальных целях ребенку показы­вают, как определяется площадь квадрата. Он овладевает приемом и применяет его в различных случаях, а затем его просят определить площадь прямоугольника. Он не мо­жет ее найти. Я спрашиваю: «Почему бы тебе не посту­пить таким же образом, как ты это делал в случае с квадратом?» Он колеблется, а затем говорит: «Не могу... здесь стороны не равны».

Но если бы на примере квадрата он действительно ра­зобрался в сути дела, понял бы, что площадь следует рас­сматривать как произведение числа квадратов, лежащих в основании, на число рядов, то перенос не вызвал бы ни­каких затруднений. В этом случае равенство сторон квад­рата не было бы помехой, оно структурно было бы пери­ферическим явлением, не имеющим существенной связи с решением.

Перенос может быть и слепым. Без такого понимания можно просто слепо считать, что и площадь прямоуголь­ника определяется произведением двух его сторон. Если называть и этот случай обобщением, то следует ясно по­нимать, что существует важное различие между струк­турно слепыми, или бессмысленными, обобщениями и об­общениями осмысленными.

21. Мне могут возразить: «Почему вы говорите о по­нимании внутренней структуры, внутренних требований, подразумевая при этом, что схватывание структурных при-

знаков в ваших примерах делает действия осмысленными? А что вы скажете о неевклидовых ситуациях? Что если мы выберем для нашей геометрии другие аксиомы? То, что разумно в одной системе, может быть бессмысленным в другой. То, что вы говорите, может показаться разум­ным только тем, кто разделяет наивную старомодную веру в важность только евклидовых аксиом».

Это возражение несостоятельно: оно не затрагивает существа вопроса. Неевклидова геометрия обладает свои­ми собственными структурными признаками, но и в но­вом, более широком контексте сохраняют силу требования осмысленности. После введения признака пространствен­ной кривизны некоторые утверждения евклидовой гео­метрии оказываются непригодными, так как они не учи­тывают условий, появляющихся с введением кривизны, и соответствуют только частному случаю, при котором кривизна равна нулю.

Коротко проиллюстрируем сказанное: фигура, состоя­щая из четырех «прямых» линий и четырех прямых углов на поверхности сферы, отличается от плоского прямоуголь­ника также и площадью, но и в этом случае вы можете либо осмысленно определить эту площадь, поняв ее внут­реннюю структуру, либо получать результаты диким ме­тодом, аналогичным уже рассмотренным нами случаям.

«Почему вы в этом контексте говорите о разумности?— спросит логик. — Разумность — это не что иное, как тре­бование непротиворечивости в смысле старой формальной логики. Любая теорема, любой закон — даже ваш пример площади прямоугольника, равной в описанном вами ис­кусственном мире 2 (а + b),— являются нелепыми или неразумными только потому, что они противоречат другим законам и не согласуются с аксиомами собственной систе­мы. Вот и все».

Но этот аргумент просто переносит вопрос с теорем на аксиомы. Если рассмотреть другие аксиомы, соответствую­щие именно таким структурно слепым связям и обеспе­чивающие формальную непротиворечивость, то в резуль­тате окажутся дикими не только отдельные теоремы, но и вся аксиоматическая система.

Конечно, в современной математике наблюдается тен­денция к построению систем, из которых устраняется структурная осмысленность. Некоторые считают, что сле­дует игнорировать такую осмысленность. Сходная тенден­ция наблюдается и в развитии логики — логика сводится

к игре, управляемой суммой произвольно комбинируемых отдельных правил. Как разделение труда такая специали­зация заслуживает одобрения, особенно когда дело каса­ется критериев строгой логической валидности. Но если к этому сводится все назначение логики, то тем самым мышление лишается тех признаков, которые играют важ­ную роль в действительно продуктивных процессах. Одна­ко, каково бы ни было отношение структурных проблем к формальной логике и теории познания (независимо от ре­шения вопроса о том, следует или не следует логике за­ниматься структурными проблемами), они являются ре­шающим моментом подлинно разумных, продуктивных процессов.

Развитие современной математики происходило в на­правлении полного освобождения от всяких следов гео­метрической интуиции. Это имело свои основания, по­скольку анализировались вопросы валидности идеальных, аксиоматических систем, в которых конкретные теоремы выводятся только путем применения к аксиомам силлоги­стических и сходных формальных операций. Но это впол­не обоснованное стремление не следует смешивать с проб­лемами понимания и подлинно продуктивных процессов. Я не встречал ни одного действительно продуктивного ма­тематика, который не чувствовал бы этого различия. Неко­торые говорили: «Это не логический и не математический вопрос. Это психологический вопрос, или, если угодно, во­прос эстетической стороны дела». Мне кажется, что такие утверждения связаны со слишком узким пониманием ло­гики. К тем шагам и операциям, которые образуют дикие процедуры, приходят не логическим путем. Прямая про­цедура кажется также и более логичной. Различие между произвольными, слепыми и осмысленными действиями со­ставляет самую суть логики.

22. Приведенные примеры и в самом деле были дики­ми и бессмысленными, и читатель вправе спросить, зачем их нужно было приводить. Их искусственность и бессмыс­ленность вполне очевидны; достаточно здравого смысла, чтобы понять их отличие от действительно осмысленных действий. Но в целях научной ясности необходимо сосре­доточить внимание на очевидных вещах. Некоторые тео­ретические построения в логике, теории познания, психо­логин игнорируют эту фундаментальную проблематику или даже пытаются оправдать слепоту к ней.

Более того, то, что мы склонны считать само собой

разумеющимся и «очевидным», нуждается в научном осве­щении и разработке. Здесь я использовал термины, кото­рые кажутся непривычными и недостаточно простыми. Следует, однако, понять, что сама ситуация таит в себе множество проблем. И в этом нет ничего странного. В то время как в традиционной логике существует множество хорошо разработанных операций, операции, с которыми имеем дело мы, все еще плохо изучены. Гештальттеория только пытается их разработать.

23. «Вы не упомянули, — вмешивается логик, — еще одно обстоятельство, достаточное для различения дейст­вий, которые вы называете дикими, и действий разумных. Эти примеры кажутся бессмысленными просто потому, что состоят из большего числа шагов, являются более длин­ными. Вы забыли о „lex parsimoniae"».

Все предыдущие решения действительно содержали большее число шагов, чем соответствующие разумные ре­шения. Но этот внешний признак не должен вводить вас в заблуждение. Он не имеет существенного значения.

Всегда ли такие «мудреные» действия необходимо со­держат большее число шагов? Всегда ли они «сложнее» соответствующих осмысленных действий? Нет. В задачах на определение площади прямоугольника и параллело­грамма осмысленные действия структурно слишком прос­ты, чтобы допустить применение более короткого метода, но в учебниках по математике можно обнаружить такие случаи. Рассмотрим, например, следующую задачу.

Какова сумма ряда:

S=l+ a + a ²+ a ³+ a ⁴...? (a <1)

Вот обычное решение:

1) Напишите равенство 1. S = 1+ а + a ²+ а ³+ а ⁴+...

2) Умножьте обе части 2. aS=a+a ² + a ³ + a ⁴ + a ⁵...
равенства на а

3) Вычтите из первого ра- 3. S — aS= 1

венства второе

4) Найдите S

Вот правильный результат:

он корректно получен, дока­зан и весьма элегантен из-за своей краткости. Действи­тельное понимание, разумный вывод формулы отнюдь не просты; для этого требуется гораздо большее число нелег­ких шагов. Хотя многие и вынуждены признать коррект-

ность описанных выше действий, они не испытывают чув­ства удовлетворения и чувствуют себя обманутыми. Умно­жение на а, а затем вычитание одного ряда из другого дает решение, но не приводит к пониманию того, как бес­конечный ряд (точнее, последовательность его частичных сумм) приближается в процессе роста к своему предель­ному значению¹. Подлинное понимание исходит из рас­смотрения роста ряда и приводит к закону роста, что по­зволяет найти предел. Многие в действительности не до­стигают понимания. Они удовлетворяются получением правильного ответа².

Существуют математические теоремы, которые в на­стоящее время имеют только «внешние» решения, потому что они остаются все еще слишком сложными для кон­структивного понимания. Крайними примерами их явля­ются некоторые случаи так называемого доказательства от противного, непрямого доказательства, в котором ис­пользуется принцип исключенного третьего, показываю­щий, что принятие противоположной посылки невозмож­но, поскольку оно ведет к противоречию. Но такое до­казательство не позволяет понять, как конструктивно до­стигается позитивное решение. Знаменитый математик Брауэр презрительно называл такие непрямые доказатель­ства «позвоночным мышлением». Я не стану здесь вы­яснять, насколько обоснованно его требование не призна­вать результаты, которые могут быть получены только таким способом. Я лишь хочу подчеркнуть, что сущест­вует огромное различие между осмысленным решением, основанным на понимании сущности задачи, и решением, совершаемым посредством внешних действий.

¹ Вот пример ответа испытуемого в одном из моих экспери­ментов: «Странно... умножение на а... зачем? Разве это приближает меня к цели?.. Вычитание — зачем? А теперь в 3) все, что я знаю о структуре 5, исчезло! Разве я ищу сумму этого возрастающего ряда? Я знаю о ней не больше, чем раньше, — только то, что она равна 1/1- a. Но почему? Как?»

² Конечно, для профессионала и эта обычная процедура явля­ется осмысленной. Она основана на понимании того, что при «сдви­ге», то есть при умножении на а, ряд, за исключением первого чле­на, не изменяется. И все же эта процедура остается внешней и не предполагает действительного понимания того, как возникает сум­ма.

III

24. Прежде чем перейти к рассмотрению подлинных процессов мышления детей в связи с определением пло­щади параллелограмма, мы зададим следующий вопрос: «Каковы этапы действительно разумного процесса опре­деления площади прямоугольника?» Мы коротко перечис­лим этапы, которые считаем существенными, основываясь на экспериментах с детьми и взрослыми.

1) Предлагается задача: чему равна площадь прямо­угольника? Еще не знаю. Как я могу это узнать?

2) Я чувствую, что должна существовать какая-то внутренняя связь между величиной площади и формой пря­моугольника. Какова эта связь? Как я могу ее обнару­жить?

3) Площадь можно рассматривать как сумму малень­ких квадратиков, помещающихся в фигуре¹.

Рис. 20

А форма? Это не любая фигура, не простое нагромож­дение маленьких квадратов; я должен понять, как пло­щадь «строится» в этой фигуре! (Рис. 20.)

4) Разве способ организации, (или возможность орга­низации) малых квадратов в этой фигуре не ведет к яс­ному структурному восприятию целого? Да, конечно. Длина фигуры повсюду одна и та же, и это должно быть связано с постепенным увеличением площади! Параллель­ные ряды малых квадратов прилегают друг к другу и взаимно равны; таким образом они заполняют всю фигу­ру. У меня есть совершенно одинаковые по длине ряды, которые вместе образуют целую фигуру.

¹ Я опускаю здесь процессы, которые начинаются с варьиро­вания размера прямоугольника; введение маленьких квадратов уп­рощает картину. Иногда дети сами находят этот прием; иногда экспериментатор предъявляет прямоугольник, состоящий из куби­ков, или с самого начала проводит линии; в этих случаях детям все еще предстоит самим сделать существенные шаги.

5) Я хочу найти общую сумму; сколько всего в фигуре рядов! Я осознаю, что на это указывает высота — сто­рона а. Чему равна длина одного ряда? Очевидно, она задается длиной основания b.

6) Значит, я должен умножить а на b. (Это не просто умножение двух величин одного и того же рода: на этом этапе существенное значение имеет их характерное функ­циональное различие.)

При таком структурировании прямоугольника ясным становится вопрос о величине площади. Полученная структура прозрачна и легко схватывается. Решение до­стигается ¹ благодаря пониманию внутренней структурной связи между площадью и формой.

25. Я не утверждаю, что именно такие фазы могут быть вычленены в актуальном процессе мышления ². Обычно они тесно взаимосвязаны внутри целостного про­цесса; и все же, по-моему, их выделение необходимо для действительного понимания существа дела.

Эти фазы включают ряд операций и признаков, кото­рые не были по-настоящему оценены или изучены тради­ционной логикой и ассоциативной теорией.

1) Здесь имеет место группировка, реорганизация, структурирование, операции деления целого на части, ко­торые все-таки продолжают рассматривать вместе, в пря­мой связи с целой фигурой и под углом зрения постав­ленной специфической задачи.

Эти операции осуществляются не любым способом, мы имеем дело не с любой группировкой или организаци­ей, хотя фактически существует много различных спосо-

¹ На четвертом этапе вместо горизонтальных рядов можно вы­брать вертикальные. Но в ходе решения не следует смешивать эти два способа. Когда ребенок их путает, легко стирается различие между «числом рядов» и «длиной ряда»; поэтому рекомендуется начинать с прямоугольника, у которого стороны явно различаются. Пятый этап особенно очевиден в случае, когда стороны прямоуголь­ника кратны стороне мерного квадрата; в противном случае про­цедура включает еще один шаг, а именно уменьшение площади мерного квадрата. В 5) и 6) появляется умножение. Но это отнюдь простое или необходимое воспроизведение операции, усвоенной уроках арифметики. Возможно даже, что это нечто совершенно противоположное: сама идея умножения, или смысл умножения, может стать понятной именно в таком контексте.

² Я бы не советовал адаптировать каждый из этих шагов для школьного обучения. Но иногда полезно задать вопрос в одном из указанных направлений.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: