Определение с заданной надёжностью доверительных оценок измеряемой величины и её СКП.

Хотим подчеркнуть, что методика обработки измерений описанная в предыдущих параграфах, не совсем обоснована, т.к. формулы (4.1)-(4.6) выведены в предположении, что число измерений n очень велико. В частности при расчёте предельного значения мы априори брали коэффициент равный 3 и получали вероятность P=0.997, что верно только при n→ ∞. На практике же это число конечно и весьма ограничено. Поэтому возникает важная задача оценки точности величин a_вер, m, m₀ при конечном и ограниченном числе n.

Другими словами требуется установить вероятность P=a того, что при заданном конечном числе измерений n неизвестное значение a_ист заключено в границах a_вер – m_0пред до a_вер + m_0пред. Эти границы называют доверительными, а интервал a_вер ± m_0пред доверительным интервалом с заданной надёжностью a = P. Таким образом, нам известны n, a_вер и задано m_0пред. Найти: a.

Обратная задача формулируется следующим образом: каким при заданном числе измерений n должен быть доверительный интервал, для того, чтобы с заданной надёжностью a можно было утверждать, что неизвестная величина a_ист не выйдет за границы доверительного интервала:

a_вер – m_0пред < a_ист < a_вер + m_0пред

То есть, нам известны n, a_вер и задано a. Найти: m_0пред

Решение этой задачи в обоих постановках достигается при помощи распределения Стьюдента. Оно учитывает ограниченность числа измерений n и при условии n→ ∞ переходит в нормальное распределение. На его основе составлена Таблица 7.1. связывающая число наблюдений n, надёжность a и коэффициент , выносимый в формулу (4.8). В этом случае формула (4.8) приобретает вид: m_0пред = t m₀ (7.1)

Таблица 7.1. Значения коэффициента t по заданным n и a.

Примерно также решается вопрос и об оценке точности определения СКП единичного измерения, если число измерений конечно и ограничено.

На основе распределения Пирсона с заданной надёжностью a утверждается, что истинное значение СКП единичного измерения m_ист отличается от вычисленного не более чем на величину e.

На основе этого распределения составлена Таблица 7.2, связывающая число наблюдений n, надёжность a и коэффициент . То есть выбрав из таблицы 7.2 коэффициент t и рассчитав величину e=t∙m c надёжностью a можно утверждать, что m – e < m_ист< m + e.

Или наоборот, зная величину e можно определить надёжность a.

Таблица 7.2. Значения коэффициента t по заданным n и a.

Пример 7.1

В широте j = 36.5°N судно следует ИК = 114° со скоростью V = 16 уз. Измерена серия 7 высот светила, азимут которого А=60,7° SO^st.

Моменты наблюдения T_i и отсчёты секстана ОС_i приведены в таблице.

Таблица 7.3

Задание:

1. привести ОС_i к одному зениту и моменту времени.

Рассчитать:

2. вероятнейшее значение высоты светила;

3. СКП единичного измерения двумя способами;

4. предельную погрешность единичного измерения;

5. доверительный интервал накрывающий истинное значение СКП единичного значения с надёжностью (вероятностью) 0,90.

6. надёжность a определения СКП для доверительного интервала в 0,5 единицу измеряемого параметра (±0,5′)

7. СКП вероятнейшего значения;

8. предельную погрешность вероятнейшего значения измеренной величины и доверительный интервал накрывающий истинное значение измеряемой величины с надежностью (вероятностью) 0,95.

9. надёжность a для доверительного интервала в одну единицу измеряемого параметра (±1′).

Решение:

1. Составляем расчётную таблицу (Таблица 7.4), в первую колонку вносим моменты наблюдений, в пятую отсчёты секстанов.

Таблица 7.4

· Выбираем момент времени T₀ к которому будем приводить все измерения серии, чаще всего это или средний, или последний момент. Возьмём средний момент времени, в нашем случае четвёртый, т.е. T₀ = T₄.

· Рассчитываем промежутки времени DT_i между T₀ и текущим моментом T_i, DT_i = T₀ – T_i и вносим результаты во вторую колонку. В третью колонку внесём те же промежутки DT_i, но секунды выразим в десятых долях минуты.

· Рассчитаем поправки для приведения высоты светила к одному моменту и к одному зениту:

из таблицы 17 МТ-75 по широте j и азимуту на светило А

Dh_T¹⁰ = +1,75′; Dh_T¹ = 6*1,75′=10,50′.

Из таблицы 16 МТ-75(63) по скорости V = 16 уз и КУ=119,3° – 114° =5,3°

Dh_z¹ = +0,27.

Рассчитываем совместную поправку за 1 минуту:

Dh¹ = Dh_z¹+ Dh_T¹=10,77

· Рассчитываем произведения Dh_i= DT_i Dh¹, результаты вносим в четвёртую колонку.

· В шестой колонке рассчитываем приведенные отсчёты секстана

ОС_{пр i}=Dh_i+OC_i

2. Находим вероятнейшее значение ОС на T₀ (четвёртый момент времени) – внизу колонки среднее арифметическое от ОС_{пр I}.

3. Рассчитываем СКП:

(методом внутренней сходимости)

В последние две колонки вносим уклонения v_i и квадраты уклонений v_i² соответственно. Внизу колонок находим сумму уклонений и сумму квадратов уклонений.

(методом размаха)

ОС_max =30°13.2′

ОС_min =30°11.5′

R = 1.7′

k_n = 0.370

m = k_nR = ±0.63 ′

4. Предельная погрешность единичного измерения m_пред = 3m = 2.0′

5. Находим доверительный интервал единичного измерения,

• по известному количеству наблюдений n = 7 и заданному в условии a = 0,90 из Таблица 7.2 находим значение коэффициента t = 0,65.

• Рассчитываем e= t ∙m = 0.65∙0.66′ = 0.44′

• Находим m-e=0,22 и m+e=1,1 следовательно 0,22≤ m_ист≤1.1.

6. Рассчитываем надёжность a для заданного доверительного интервала m±e в примере e= 0.5′.

• находим t=e/m = 0.75

• обратным входом в Таблица 7.2 по n=7 измерениям и по известному t=0.75 получаем надёжность a > 0.9.

7. Рассчитываем СКП вероятнейшего значения:

8. Находим предельную погрешность вероятнейшего значения и доверительный интервал:

• по известному количеству наблюдений n = 7 и заданному в условии a = 0,95 из Таблицы 7.1 находим значение коэффициента t = 2.45.

• m_0пред=tm₀=2,45∙0.25′ 0.6 ′ следовательно 30°11,8′≤ ОС_ист≤30°13,0′.

9. Рассчитываем надёжность a для заданного m_0пред=±1′

• рассчитываем t= m_0пред/m₀=4

• для чего, обратным входом в Таблицу 7.1 по n=7 измерениям и по найденному t получаем надёжность a >0.99

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: