Тема 1. Непосредственный подсчет вероятностей

Краткие теоретические сведения

Изучение закономерностей однородных массовых случайных явлений составляет предмет теории вероятностей и основанной на ней математической статистики.

Изучение каждого явления в порядке наблюдения или проведения опыта связано с осуществлением некоторого комплекса условий или действий, в результате которого происходит определенное явление, называемое событием. События, которые могут произойти, а могут не произойти в результате испытания называют случайными, и обозначают заглавными буквами А, В, С и т.д.

Событие называется достоверным, если оно обязательно должно произойти в результате испытания и невозможным, если в результате испытания не может произойти.

События называются несовместными, если в условиях испытания каждый раз возможно появление только одного из них, т.е. появление одного из событий исключает появление другого. В противном случае случайные события называются совместными.

События и (не ) называются противоположными, если в условиях испытания они несовместны и являются единственными его исходами.

События образуют полную группу, если они являются единственно возможными и несовместными исходами некоторого испытания.

События называются равновозможными, если они имеют одинаковые шансы появиться в результате испытания.

Простые или элементарные события - это неразложимые равновозможные события и их появление обусловлено только одним исходом испытания. Если события могут появиться в результате нескольких исходов испытания, то их называют сложными.

Те исходы, при которых наступает событие , называются благоприятствующими событию А.

Суммой событий и называется событие , которому благоприятствуют все элементарные события, благоприятствующие хотя бы одному из событий А и В. Другими словами событие А+В заключается в наступлении события или события , или обоих вместе.

Произведением событий и называется событие , которому благоприятствуют события, благоприятствующие обоим событиям и . Другими словами, событие заключается в совместном появлении обоих событий и и .

Для решения практических задач нужна количественная оценка (мера) возможности появления или непоявления событий. Для определения этой меры ввели понятие вероятности события .

Относительной частотой события называется отношение числа появлений события к общему числу испытаний, т.е. При больших относительная частота обнаруживает свойство устойчивости, стабилизируется около некоторого числа, которое и принято считать статистической вероятностью события , т.е. при . Ясно, что применение этого определения на практике затруднительно, т.к. требует большого числа испытаний, поэтому, если возможно, то используют классическое определение:

, (1.1)

где общеечисло равновозможных несовместных исходов испытания, а – число исходов, благоприятствующих появлению события .

Из этого определения вытекают следующие свойства:

1) Вероятность любого события заключена в пределах от нуля до единицы, т.е ;

2) Достоверное событие U обязательно происходит при испытании, следовательно, ему благоприятствуют все элементарные исходы, тогда и ;

3) Невозможное событие V не может произойти в результате испытания,т.е. ему не благоприятствует ни один из исходов, тогда и .

4) Сумма вероятностей противоположных событий равнее единице, т.е. .

Вероятность можно связать с процентами. Например, если = 0,7,топри достаточно большом числе испытаний событие появится примерно в 70% случаев.

Если вероятность близка к единице, то событие является часто происходящим. Если вероятность близка к нулю, то событие является редким.

Следует заметить, что, вычисляя вероятность по формуле (1.1) события , которое является сложным, необходимо для подсчета общего числа – равновозможных и несовместных исходов испытания и – числа исходов, благоприятствующих появлению события применять понятие числа сочетаний из элементов по . Подробнее с этим понятием можно ознакомиться в разделе комбинаторика, который рассматривает решение задач на подсчет всех возможных различных комбинаций, составленных из конечного числа элементов по определенным правилам.

Определение. Любое подмножество из элементов множества, содержащего элементов, называется сочетанием. Число всех различных сочетаний из элементов по обозначается и находится по формуле:

, (1.2)

где , причем , для любого натурального .

Из формулы (1.2) следует, что и .

В сочетаниях порядок выбранных элементов не важен, т.е. сочетания, состоящие из одних и тех же элементов, но отобранных в разном порядке являются одинаковыми.

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение случайного события, простого и сложного.

2. Какая группа случайных событий называется полной?

3. Что понимают под суммой и произведением случайных событий?

4. Как определяется вероятность наступления случайного события?

5. Сформулируйте классическое определение вероятности.

6. Что изучает комбинаторика?

7. Как называются подмножества из элементов множества, содержащего элементов?

Пример 1.1

Данные о распределении работников некоторого предприятия по отделам и полу приведены в таблице.

1) Наудачу отобран один из сотрудников. Найти вероятность того, что это:

a) мужчина ();

b) работник производственного отдела ();

c) женщина, работающая в отделе реализации ().

2) На этом же предприятии решено создать группу из трех человек, ответственную за проведение мероприятия. Если людей отбирать случайным образом, то какова вероятность, что это будут:

a) Все женщины ();

b) две женщины и один мужчина ();

c) одна женщина, работающая в бухгалтерии, одна женщина из отдела реализации и мужчина ().

Решение:

1) События , и – простые, т.к., появляются в результате одного исхода испытания, поэтому для подсчета вероятностей этих событий по формуле (1.1) будем иметь:

a) здесь = 46 –общеечисло работников, а = 23 – число мужчин среди них, следовательно ;

b) общеечисло работников = 46, а = 22 – число работников производственного отдела, следовательно ;

c) = 46, а = 2 – число женщин в отделе реализации, поэтому .

2) События , и – сложные, т.к., появляются в результате трех исходов испытания, поэтому общеечисло равновозможных несовместных исходов испытания и – число исходов, благоприятствующих появлению событий, будем находить по формуле числа сочетаний (1.2):

a) из числа всех работников, которое равно 46, составляются различные комбинации по три человека, число таких комбинаций и есть в формуле (1.1), т.е. . Общеечисло женщин на предприятии равно 23, следовательно . Теперь по формуле (1.1) будем иметь: ;

b) двух женщин отбирают из 23, работающих на предприятии и одного мужчину из числа всех мужчин, которых на данном предприятии также 23, следовательно , поскольку , а , окончательно получим ;

c) здесь .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: