Статистическая физика как аксиоматическая система

«Гиббсу принадлежит честь систематизировать эту науку,
изложить её в стройном виде и дать ей характерное имя»

Л. Больцман

Статистическая физика определяется как наука о свойствах и поведении макроскопических систем, находящихся в состоянии равновесия, на основе известных свойств образующих их микрочастиц (атомов, молекул, ионов). Другими словами, в рамках статистического подхода свойства и законы движения микрочастиц считают известными, и задача состоит в нахождении системных параметров с использованием данных о свойствах микрочастиц и законах их движения. Наличие громадного числа микрочастиц в макросистеме, с одной стороны, делает невозможным использование способа решений задач механики – составления уравнения для каждой частицы и учёт её начальных условий, но, с другой стороны, именно громадное число частиц приводит к закономерностям, не имеющим места в механике – статистическим закономерностям.

В рамках статистических закономерностей: а) поведение макросистемы, находящейся в равновесии, не зависит от начальных условий; б) точные значения параметров, характеризующих систему пренебрежимо мало отличаются от их средних значений, и поэтому для получения количественного описания состояния макросистемы достаточно найти средние значения параметров.

Общее правило нахождения среднего значения параметра имеет вид:

.

Пояснение: механическое состояние системы материальных точек определяется набором координат и скоростей. В статистической физике обычно вместо скоростей используют импульсы (дело это не меняет, поскольку скорость и импульс связаны соотношением , где ‑ масса, считается постоянной). Совокупности координат и импульсов материальных точек системы обозначают символами и соответственно.

Таким образом, если физический параметр системы (например, её энергия) является функцией координат и импульсов , то её среднее значение находят по данной выше формуле.

Интегрирование по координатам проводится по объёму системы, интегрирование по импульсам от до . Функцию называют функцией распределения. Она удовлетворяет условию . Функции распределения находят как следствия из базовых функций распределения Гиббса. Набор функций распределения, известных под названием распределений Гиббса, является фундаментальным. Другими словами, распределения Гиббса являются аксиомами, используя которые можно найти функции распределения как следствия, конкретные для различных систем и условий, а с их помощью найти средние значения любой величины, зависящей от состояния системы.

Пусть произвольная физическая система находится в различных физических состояниях 1, 2, 3, … Обозначим через любую физическую величину, зависящую от состояния системы. Каждому состоянию соответствует определённое значение . С другой стороны, если величина имеет значение , то система находится в состоянии.

Рассмотрим поведение системы в течение долгого промежутка времени и будем каждые секунд измерять значение . Пусть система в состоянии проводит время . Тогда в результате измерений получим, что величина имеет значение . Полное число измерений . Если нас интересует значение , то вероятность получения этого значения по определению будет

или .

Отметим, что необходимо существование предела отношения , а он будет существовать, только если внешние условия не изменяются, например, для замкнутых систем. Если состояния системы изменяются непрерывным образом, то в любом состоянии система проводит бесконечно малое время, а в любой физический интервал времени , система успеет побывать в состояниях, соответствующих , лежащим в интервале от до . И для такой ситуации можно говорить о вероятности того, что величина имеет значение от до . Эта вероятность

.

Обычно используют не , а величину ; называют плотностью вероятности. По своему смыслу вероятность того, что значение лежит в некотором единичном интервале.

Основным понятием в статистической физике является понятие статистического среднего. Оно является обобщением арифметического среднего. Если в процессе измерений получено в измерениях значение какой-либо измеряемой величины , то по определению арифметическое среднее

.

Статистическим средним называют предел отношения

.

Поскольку и , то

.

‑ вероятность того, что величина имеет значение . Если величина изменяется непрерывно, то вместо используется и формула .

Итак, знание вероятности как функции величины при дискретном распределении состояний системы, или знание плотности вероятности как функции обеспечивает получение среднего значения величины . В статистической физике доказано, что отклонение среднего значения от истинного значения , где ‑ число элементов системы. Таким образом, статистическое среднее можно считать истинным значением .

Функции и называют статистическими распределениями. Как ранее было сказано, существуют фундаментальные статистические распределения, которые определяют статистические распределения для любого макроскопического тела, т.е. их знание позволяет найти (в принципе, поскольку в реальности могут возникнуть большие технические сложности) параметры, характеризующие средние значения физических величин, являющихся функциями состояния любого макроскопического тела. Их называют распределениями Гиббса.

Так, в 1901 г. Гиббсом было найдено распределение, получившее название канонического. Оно применимо к системам, находящимся в контакте с термостатом, т.е. к имеющим постоянный объём и заданное число частиц.

,

где ‑ вероятность состояния системы, при которой система находится в состоянии с энергией ; ‑ постоянная Больцмана; ‑ абсолютная температура; ‑ не зависящая от нормировочная постоянная.

Если энергия изменяется непрерывно, то учитывая, что энергия является функцией координат и импульсов функция распределения

,

а формула распределения Гиббса имеет вид

.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: