Числовые характеристики дискретных случайных величин

Математическое ожидание дискретной случайной величины есть сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности:
M(X) = x₁p₁ + x₂p₂ +... + x_np_n

Свойства математического ожидания.
1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой величине:
М(С) = С
2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
М(СХ) = С·М(Х)
3) Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
М(Х₁ + Х₂ + …+ Х_n) = М(Х₁) + М(Х₂) +... + М(Х_n)
4) Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:
М(Х₁ · Х₂ ·... · Х_n) = М(Х₁) · М(Х₂) ·... · М(Х_n)

Дисперсия дискретной случайной величины есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:
D(X) = (x₁ - M(X))²p₁ + (x₂ - M(X))²p₂ +... + (x_n- M(X))²p_n = x²₁p₁ + x²₂p₂ +... + x²_np_n - [M(X)]²

Свойства дисперсии.
1) Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(С) = 0
2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(СХ) = С² · D(Х)
3) Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D(Х₁ ± Х₂ ±... ± Х_n) = D(Х₁) + D(Х₂) +... + D(Х_n)

Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, оно же стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии:
σ(X) = √D(X)

Мода дискретной случайной величины Mo(X) - это значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятность. На многоугольнике распределения мода - это абсцисса самой высокой точки. Бывает, что распределение имеет не одну моду.

Коэффициент вариации случайной величины - это относительная мера вариации.
V(X) = |σ(X)/M(X)| · 100%

Асимметрия (коэффициент асимметрии) случайной величины (и дискретной, и непрерывной) As(X) - величина, характеризующая степень асимметрии распределения относительно математического ожидания. Коэффициент асимметрии дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
As(X) = [(x₁-M(X))³p₁ + (x₂-M(X))³p₂ +... + (x_n-M(X))³p_n]/σ³
Если коэффициент асимметрии отрицателен, то либо большая часть значений случайной величины, либо мода находятся левее математического ожидания, и наоборот, если As(X)>0, то правее.

Эксцесс (коэффициент эксцесса) случайной величины (и дискретной, и непрерывной) Ex(X) - величина, характеризующая степень островершинности или плосковершинности распределения, т.е. степень так называемого «выпада». Коэффициент эксцесса дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
Ex(X) = [(x₁-M(X))⁴p₁ + (x₂-M(X))⁴p₂ +... + (x_n-M(X))⁴p_n]/σ⁴ - 3

Пример 2.1

Составить самим закон распределения случайной дискретной величины X, которая может принимать 5 значений. Найти:
– её числовые характеристики
- функцию распределения
– вероятность того, что X примет значение меньше M(X);
– вероятность того, что X примет значение больше 0,5 M(X).

Решение

Закон распределения дискретной случайной величины X – это перечень всех возможных значений с.в. X, которые она может принимать, и соответствующих вероятностей. Сумма всех вероятностей должна равняться 1.
Проверка: 0,1 + 0,2 + 0,5 + 0,1 + 0,1 = 1
Многоугольник распределения:

Математическое ожидание:
M(X) = -2·0,1 - 1·0,2 + 0·0,5 + 1·0,1 + 2·0,1 = -0,1
Дисперсия – это математическое ожидание квадрата отклонений значений случайной величины X от её математического ожидания:
D(X) = (-2 + 0,1)²·0,1 + (- 1 + 0,1)²·0,2 + (0 + 0,1)²·0,5 + (1 + 0,1)²·0,1 + (2 + 0,1)²·0,1 = 1,09
или D(X) = (-2)²·0,1 + (-1)²·0,2 + 0²·0,5 + 1²·0,1 + 2²·0,1 - (-0,1)² = 1,1 - 0,01 = 1,09
Среднее квадратическое отклонение – это корень квадратный из дисперсии:
σ = √1,09 ≈ 1,044
Коэффициент вариации V(X) = [1,044/0,1] · 100% = 1044%
Коэффициент асимметрии As(X) = [(-2 + 0,1)³·0,1 + (- 1 + 0,1)³·0,2 + (0 + 0,1)³·0,5 + (1 + 0,1)³·0,1 + (2 + 0,1)³·0,1]/1,044³ = 0,200353
Коэффициент эксцесса Ex(X) = [(-2 + 0,1)⁴·0,1 + (- 1 + 0,1)⁴·0,2 + (0 + 0,1)⁴·0,5 + (1 + 0,1)⁴·0,1 + (2 + 0,1)⁴·0,1]/1,044⁴ - 3 = 0,200353

Функция распределения – это вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем какое – либо числовое значение x:
F(X) = P(X < x)
Значения определяем суммированием вероятностей.
Функция распределения – функция неубывающая. Она принимает значения в интервале от 0 до 1.

P(X < -0,1) = F(-0,1) = 0,3
P(X > -0,05) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,5 + 0,1 + 0,1 = 0,7

График функции распределения:

Свернуть

Пример 2.2

M(X) = 5,6; D(X) = 3,04. Вычислить M(Y) и D(Y), если Y = 3x + 2.

Показать решение

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: