Биномиальное распределение

Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины X - числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события постоянна. Вероятности p_i вычисляют по формуле Бернулли

Для биномиального распределения:
математическое ожидание M(X) = np,
дисперсия D(X) = npq,
мода np-q ≤ Mo ≤ np+p,
коэффициент асимметрии As = (q - p)/√npq,
коэффициент эксцесса Ex = (1 - 6pq)/npq

В пределе при n→∞ биномиальное распределение по своим значениям приближается к нормальному с параметрами a=np и σ=√npq
В пределе при n→∞ и при p→0 биномиальное распределение превращается в распределение Пуассона с параметром λ=np.

Пример 3.1

Построить ряд распределения числа попаданий мячом в корзину при трех бросках, если вероятность попадания при одном броске равна 0,6. Найти среднее число попаданий и дисперсию.

Решение
Случайная величина Х – число попаданий в корзину при трёх бросках. Соответствующие вероятности найдём по формуле Бернулли.

Искомый закон распределения:

Контроль: 0,064 + 0,288 + 0,432 + 0,216 = 1
Математическое ожидание:
М(Х) = Σ х_ip_i = 0 · 0,064 + 1 · 0,288 + 2 · 0,432 + 3 · 0,216 = 1,8
Или: М (Х) = np = 3 · 0,6 = 1,8
Дисперсия:
D(X) = Σ х²_ip_i – (М(Х))² = 0² · 0,064 + 1² · 0,288 + 2² · 0,432 + 3² · 0,216 – 1,8² = 0,72
Или: D (X) = npq = 3 · 0,6 · 0,4 = 0,72
Среднее квадратическое отклонение:
σ(Х) = √D(X) ≈ 0,85
Коэффициент асимметрии As = (q - p)/√npq = (0,4 - 0,6)/√3·0,6·0,4 ≈ -0,2357,
Коэффициент эксцесса Ex = (1 - 6pq)/npq = (1 - 6·0,6·0,4)/(3·0,6·0,4) ≈ -0,61111

Свернуть

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: