Уравнение Перкинса-Керна

В модели PKN принимается, что условие плоской деформации сохраняется в каждой вертикальной плоскости, нормальной к направлению распространения; однако, в отличие от ситуации строгой плоской деформации, состояние напряжений и деформаций не точно одинаково в следующих одна за другой плоскостях. Иными словами, в этой модели используется допущение квази-плоской деформации, причем плоскость отсчета вертикальна и нормальна к направлению распространения. Пренебрегая изменениями давления вдоль вертикальной координаты, эффективное давление, , рассматривается как функция латеральной координаты . Постоянное по вертикали давление приводит к эллиптическому поперечному сечению. Непосредственное применение уравнения 4-1 дает максимальную ширину эллипса в виде

(4-14)

Перкинс и Керн [Perkins and Kern, 1961] постулировали, что эффективное давление равно нулю на вершине трещины, и они аппроксимировали среднюю линейную скорость жидкости в любой точке на основе темпа нагнетания в одно крыло (), поделенного на площадь поперечного сечения. Они получили уравнение потери давления в следующей форме:

(4-15)

Скомбинировав уравнения 4-14 и 4-15 и проинтегрировав при условии нулевого эффективного давления в вершине трещины, они получили следующий профиль ширины:

(4-16)

где максимальная ширина эллипса у скважины (см. рис. 4-4) задается выражением

(4-17)

РИС. 4-4. Основные условные обозначения для дифференциальной модели Перкинса-Керна.

В действительности, скорость течения в трещине меньше темпа нагнетания, не только потому, что часть жидкости утекает в пласт, но также потому, другая часть нагнетаемой жидкости что «расходуется» на увеличение ширины с временем. Фактически, что остается более или менее постоянным вдоль латеральной координаты в данный момент времени, это не (объемная) скорость потока, а (линейная) скорость жидкости, . Однако, если повторить аналитический вывод Перкинса-Керна с допущением о постоянной линейной скорости жидкости, на конечных результатах это скажется очень незначительно.

Уравнение 4-17 — это уравнение ширины Перкинса-Керна. Оно показывает влияние темпа нагнетания, вязкости и модуля сдвига на ширину, если достигнута данная длина трещины. Зная максимальную ширину у скважины, мы можем рассчитать среднюю ширину, помножив ее на постоянный коэффициент формы, .

, где (4-18)

Коэффициент формы содержит два элемента. Первый равен p/4, он учитывает, что вертикальная форма представляет собой эллипс. Второй элемент равен 4/5, он учитывает латеральное изменение максимальной ширины.

В нефтяной промышленности чаще используется версия уравнения 4-17 с несколько отличной константой, и ее называют уравнением ширины Перкинса-Керна-Нордгрена (PKN) [Nordgren, 1972]:

(4-19)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: