Теоретические положения. Для того чтобы в реальной колебательной системе происходили незатухающие колебания, необходимо компенсировать потери энергии

Для того чтобы в реальной колебательной системе происходили незатухающие колебания, необходимо компенсировать потери энергии. Подвод энергии можно осуществлять с помощью некоторого периодически действующего фактора x (t) (например, силы при механических колебаниях), изменяющегося по гармоническому закону .

Колебания, совершающиеся под действием внешнего периодического воздействия, называются вынужденными колебаниями. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид

.

(9.1)

Частное решение этого уравнения

,

где – сдвиг по фазе колеблющейся величины относительно внешнего воздействия.

Амплитуда вынужденных колебаний A зависит от . График функции имеет максимум при некоторой частоте . Величина называется резонансной частотой. Можно показать, что для резонансной частоты справедливо соотношение

.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения при вынужденных электрических колебаниях в контуре) к частоте называется резонансом. При значение практически совпадает с собственной частотой колебательной системы.

Рис. 43. Колебательный контур с источником переменного напряжения

Рассмотрим колебательный контур (рис. 43), к которому подключён источник переменного напряжения, изменяющегося по гармоническому закону

,

где U_m – амплитудное значение напряжения источника.

В таком контуре возникает переменный ток, который вызывает на всех элементах цепи падения напряжения: на резисторе, на катушке и на конденсаторе. В любой момент времени сумма напряжений на элементах контура равна приложенному извне напряжению

или

.

С учётом соотношений и , получим дифференциальное уравнение электрических колебаний в контуре

полностью совпадающее с уравнением (9.1), из чего следует, что заряд конденсатора совершает колебания по закону

,

(9.2)

а ток по закону

,

где – сдвиг фаз между током и приложенным к контуру напряжением, – амплитудное значение тока.

Векторная диаграмма амплитуд падений напряжений на элементах контура приведена на рис. 44. Амплитуда U_m приложенного извне напряжения равна векторной сумме амплитуд этих падений напряжений. Из векторной диаграммы следует, что

Рис. 44. Векторная диаграмма амплитуд падений напряжений на элементах контура

.

Для прямоугольного треугольника векторов можно также записать

,

откуда получим выражение для амплитуды силы тока (закон Ома для цепи переменного тока)

.

Разделив выражение (9.2) на C, получим закон изменения напряжения на конденсаторе

.

Амплитудное значение напряжения на конденсаторе

.

(9.3)

Резонансная частота для напряжения на конденсаторе равна

Резонансные кривые для U_Сm изображены на рис. 45. При w ® 0 резонансные кривые сходятся в одной точке с координатой U_Cm = U_m, соответствующей напряжению, возникающему на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения U_m. Максимум при резонансе получается тем выше и резонансная кривая тем острее, чем меньше , т. е. чем меньше активное сопротивление и больше индуктивность контура.

Рис. 45. Зависимость амплитудного напряжения на конденсаторе от частоты в колебательном контуре

При малом затухании () резонансную частоту для напряжения можно положить равной w₀. Соответственно можно считать, что

(9.4)

Используя формулы (9.3) и (9.4) найдём отношение амплитуды напряжения на конденсаторе при резонансе U_{Cm рез} к амплитуде внешнего напряжения U_m

.

Таким образом, добротность контура показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе превышает приложенное извне напряжение.

Резонансные кривые для силы тока изображены на рис. 46. Амплитуда силы тока I_m имеет максимальное значение при . Следовательно, резонансная частота для силы тока не зависит от R и совпадает с собственной частотой контура w₀. Графики зависимости при различных R называются резонансными кривыми колебательного контура.

Рис. 46. Зависимость амплитудного напряжения на конденсаторе от частоты в колебательном контуре

Добротность контура определяет также «остроту» резонансных кривых. На рис. 47 изображена одна из резонансных кривых для силы тока в контуре. Частоты w₁ и w₂ соответствуют току (отношение амплитуд токов, равному соответствует отношение мощностей, равное 1/2). Относительная ширина контура

Рис. 47. Характерная острота графика функции, определяющая добротность контура.

равна величине, обратной добротности контура, т.е. .

Явление резонанса используют для выделения из сложного напряжения, равного сумме нескольких синусоидальных напряжений, нужной составляющей.

.

Пусть напряжение, приложенное к контуру, равно

Настроив контур (посредством изменения R и C) на требуемую частоту , можно получить на конденсаторе напряжение в Q раз превышающее значение данной составляющей, в то время как напряжение, создаваемое на конденсаторе другими составляющими, будет слабым. Таким образом осуществляется, например, настройка радиоприёмника на нужную длину волны.

Описание установки

Состав работы:

– лабораторный модуль – 1 шт.

– генератор гармонических колебаний типа Г3-112 – 1 шт.

– микромультиметр типа «MY-67» – 1 шт.

Параметры работы:

– сопротивление резисторов R ₀ = 10 Ом, R ₁ = 150 Ом;

– емкость конденсатора ;

– индуктивность катушки ;

В состав лабораторной установки входят (рис. 48) генератор, лабораторный модуль и милливольтметр. Вместо милливольтметра в качестве измерительного прибора можно также использовать осциллограф.

Рис. 48. Схема установки

Электрическая схема установки лабораторного модуля изображена на её лицевой панели (рис. 49). К гнёздам «PO» (4, 5) на панели модуля подключается через балластное сопротивление R ₁ = 300 Ом

Рис. 49. Электрическая схема лабораторного модуля

генератор гармонических колебаний, а к гнёздам «PV» электронный вольтметр, служащий для измерения напряжения на емкости или образцовым сопротивлением R ₀, что дает возможность рассчитать ток в цепи. Генератор можно также подключать к гнёздам 4, 6. В этом случае R ₁ = 0. Общее активное сопротивление контура , где R _к – омическое сопротивление катушки индуктивности.

Выполнение работы

9.4.1. Подготовка к работе

1. Подсоединить к гнёздам «PO» (4, 6) генератор гармонических колебаний.

2. Подсоединить к гнёздам (2, 3) электронный вольтметр.

3. Включить в сеть электронный вольтметр, установив предел измерения переменного напряжения 2 В.

4. Включить генератор гармонических колебаний и установить ток генератора равным 40 – 50 мкА при частоте 10 Гц.

9.4.2. Порядок проведения измерений

1. Изменяя частоту генератора с помощью диска и кнопок множителя, расположенных на панели генератора, определить максимальное значение напряжения при резонансе и записать величину этого напряжения и значения резонансной частоты .

2. Изменяя частоту генератора в пределах , где – резонансная частота, снять зависимость , проделав 15 – 20 измерений. Измерения вблизи следует производить с минимально возможным шагом по частоте. Определить U ₀ при . Результаты занести в табл. 17.

Таблица 17. Значения напряжений для различных частот генератора

R 1 = 0	R 1 = 150 Ом
U 0max = …, = …	U 0max = …, = …
nген, Гц	U 0, В	I 1, мкА	UC 1, В	nген, Гц	U 0, В	I 2, мкА	UC 2, В

3. Подключить вольтметр к гнёздам 1, 2 и снять зависимость при тех же значениях частот, что и в п. 2. Результаты занести в табл. 17.

4. Подключить генератор гармонических колебаний к гнёздам 4, 5 и проделать те же измерения, что и в п. 1 – 3. Результаты занести в табл. 17.

9.4.3. Обработка результатов измерений

1 По формуле рассчитать значения тока в контуре и результаты расчетов занести в табл. 17. Принять .

2. Построить графики зависимости и (рис. 50), где I ₁ – ток в контуре при R ₁ = 0, а I ₂ – ток в контуре при R ₁ = 300 Ом.

3. Отложить на графике, соответствующем R ₁ = 0, (рис. 50) величину и определить значение частот n₁ и n₂.

Рис. 50. Зависимость амплитуды силы тока от частоты колебательного контура

4. Рассчитать добротность контура по формуле .

5. Используя теоретическое значение величины добротности и экспериментальное значение добротности определить сопротивление контура R.

6. Построить графики зависимости для случаев R ₁ = 0 и R ₁ = 300 Ом (рис. 51).

Рис. 51.

7. Рассчитать по формуле значение частоты при которой напряжение на конденсаторе достигает максимальной величины (при резонансе) и сравнить с частотой n _{С 1}, полученной экспериментально. Принять .

8. Проделать п. 3 – 7 для случая R ₁ = 300 Ом. Сравнить полученные результаты.

9. Определить с помощью графиков значение напряжения на генераторе U _ген.

Контрольные вопросы

1. Какие колебания называются вынужденными? Постройте график вынужденных колебаний.

2. Записать дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и найти его решение.

3. От каких параметров зависит коэффициент затухания?

4. Что называется резонансом?

5. Каков физический смысл добротности при резонансе в колебательном контуре?

6. Пояснить физическую сущность использования явления резонанса в радиотехнике.

7. Запишите дифференциальное уравнение колебательного контура состоящего из индуктивности L и параллельно соединенного резистора сопротивлением R и конденсатора емкостью С подключенные к источнику переменного напряжения, изменяющегося по гармоническому закону.

8. Назовите характеристики переменного тока.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: