![]() ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Примеры решения задач. Пример 1. Определите потенциал ионизации и первый потенциал возбуждения атома водорода.
Пример 1. Определите потенциал ионизации и первый потенциал возбуждения атома водорода.
Решение. Потенциалом ионизации Ui называют ту наименьшую разность потенциалов, которую должен пройти в ускоряющем поле электрон, чтобы при столкновении с данным невозбужденным атомом ионизировать его. Работа по удалению электрона из атома Аi равна работе сил электрического поля, ускоряющего электрон, eUi, поэтому Аi=eUi. Учитывая квантовый характер поглощения энергии атомом, можно сказать, что работа ионизации Аi равна кванту энергии hv, поглощенному атомом водорода при переходе электрона с первой боровской орбиты на бесконечно удаленную орбиту. Тогда, применив сериальную формулу Бальмера и положив в ней n 1 = 1; n 2 = ∞, получим:
Следовательно
Первый потенциал возбуждения U1 есть та наименьшая разность потенциалов, которую должен пройти в ускоряющем поле электрон, чтобы при столкновении с невозбужденным атомом перевести его в первое возбужденное состояние. Для атома водорода это соответствует переходу электрона с первой боровской орбиты на вторую. Приравняв работу сил ускоряющего электрического поля eU1 кванту энергии hν, поглощенному атомом при его переходе в первое возбужденное состояние, получим:
где n 1=1, n 2=2. Откуда:
Производим вычисления:
Ответ: Ui = 13,6 В; U 1 = 10,2 В.
Пример 2. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Определите длину волны де Бройля электрона для двух случаев: 1) U 1 = 51 В; 2) U 2 = 510 кВ.
Импульс частицы связан с ее кинетической энергией Т соотношением: 1) в нерелятивистском (классическом) случае (когда кинетическая энергия частицы Т много меньше ее энергии покоя Е 0 = m 0 с2):
где m 0 – масса покоя частицы; 2) в релятивистском случае (когда кинетическая энергия Т сравнима с энергией покоя Е 0 частицы):
где с – скорость света в вакууме. Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U 1 = 51 В и U 2 =510 кВ, с энергией покоя электрона Е 0 = m 0 с 2 = 0,51 МэВ и в зависимости от этого решим, какую из формул (2) или (3) следует применить для вычисления длины волны де Бройля. Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U 1 равна T = еU. В первом случае T 1= еU 1 = 1,6×10-19 Кл × 51 В = 81,6×10-19 Дж = = 51 эВ = 0,51×10-4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона Е 0 = 0,51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно применять формулу (2). Тогда:
Во втором случае кинетическая энергия T 2 = еU 2 = 51×104 эВ = 0,51 МэВ, т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (3). Тогда получим:
Так как Т 2 = Е 0 = m 0 c2, то получим:
Произведем вычисления:
Ответ: λ 1 = 172 пм; λ 2 = 1,4 пм. Пример 3. Используя соотношение неопределенностей Гейзенберга, показать, что ядра атомов не могут содержать электронов. Считать радиус ядра равным Rя = 10-13 см.
Δ х· Δ рх ≥ ћ, где Δ х – неопределенность координаты частицы (в данном случае электрона); Δ рх – неопределенность импульса электрона; ћ – постоянная Планка. Если неопределенность координаты принять равной радиусу ядра, т.е. Δ х = Rя, то неопределенность импульса электрона выразим следующим образом:
Так как Δ рх=mΔVх, то Вычислим неопределенность скорости электрона:
Сравнивая полученное значение
Пример 4. Электрон находится в бесконечно глубоком, прямоугольном, потенциальном ящике шириной l. В каких точках в интервале (0< х < l) плотности вероятности нахождения электрона на втором и третьем энергетических уровнях одинаковы? Вычислить значение плотности вероятности для этих точек. Решение пояснить графиком.
где ψn(х) – нормированная собственная ψ -функция, отвечающая данному состоянию. Нормированная собственная ψ -функция, описывающая состояние электрона в потенциальном ящике, имеет вид:
Возбужденным состоянием (n 1=2) и (n 2=3) отвечают собственные функции:
По условию задачи
Используя соотношения:
получим:
Так как
Решим полученное уравнение: 1) Тогда 2) Следовательно, Вычислим значение плотности вероятности в этих точках:
Так как Для
Итак, для точек х 1 и х 4: Для точек х 2 и х 3: Построим график (рисунок 54).
Пример 5. Определите начальную активность А 0 радиоактивного препарата магния 27 Mg массой m = 0,2 мкг, а также его активность А через время t = 6 ч. Период полураспада Т1/2 магния считать известным.
Знак «минус» показывает, что число N радиоактивных ядер с течением времени убывает. Воспользуемся законом радиоактивного распада N = N 0 е-λt. Тогда: Начальную активность А 0 препарата получим при t = 0: А 0 = λN 0, где постоянная радиоактивного распада Следовательно,
Произведем вычисления:
Ответ: А 0 = 5,15 ТБк; А = 81,5 Бк. Пример 6. Вычислите дефект массы и энергию связи ядра
Решение. Дефект массы ядра Δ m есть разность между суммой масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра, то есть:
где Z – атомный номер изотопа (число протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов, составляющих ядро);
В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных атомов, но не ядер, поэтому формулу (1) целесообразно преобразовать так, чтобы в нее входила масса mа нейтрального атома. Масса нейтрального атома равна сумме масс ядра и электронов, составляющих электронную оболочку атома: mа = mя + Zmе, откуда mя = mа – Zmе. Тогда формула (1) примет вид:
Замечая, что mp + me =
Подставив в это выражение числовые значения масс в а.е.м. (см. табл. 15 и 17 Приложения), получим:
Для вычисления энергии связи ядра воспользуемся формулой Есв = 931Δ m (МэВ ): Есв = 931×0,04216 МэВ = 39,2 МэВ. Ответ:Δ m = 0,04216 а.е.м.; Есв = 39,2 МэВ.
Пример 7. При соударении α -частицы с ядром бора
Решение. Обозначим неизвестное ядро символом
Применив закон сохранения заряда, получим уравнение: 2+5=1+ Z, откуда Z =6. Применив закон сохранения числа нуклонов, получим уравнение: 4+10=1+ А, откуда А =13. Следовательно, неизвестное ядро является ядром атома изотопа углерода
Энергетический эффект Q ядерной реакции определяется по формуле: Q = 931[(mHe + mB) – (mH + mC)] МэВ. Заменяя массы исходных ядер и массы ядер продуктов реакции массами нейтральных атомов (см. табл.15 Приложения) и подставив их в расчетную формулу, получим: Q = 931[4,00260+10,01294) – (1,00783+13,00335)] МэВ = 4,06 МэВ. Ответ: Q = 4,06 МэВ.
Пример 8. Определить энергию реакции 10 В (n,α)7 Li, протекающей в результате взаимодействия весьма медленных нейтронов с покоящимися ядрами бора. Найти также кинетические энергии продуктов реакции. Решение. Ядерная реакция 10 В (n,α)7 Li состоит в следующем. Ядро бора
Энергия ядерной реакции (или тепловой эффект реакции) Q определяется по формуле: Q или Q Заменив массы покоя ядер атомов массами покоя самих атомов (см. табл. 15 Приложения), получим: Q = 931(10,01294+1,00867–7,01601– – 4,00260) МэВ = 2,8 МэВ. Чтобы найти кинетические энергии продуктов реакции – ядра лития 7 Li и α -частицы, применим закон сохранения релятивистской энергии и закон сохранения импульса:
с учетом равенства (1) получим: Q Из условия задачи следует, что величинами TB и Tn можно пренебречь. Тогда получим для суммы кинетических энергий частиц 7 Li и 4 Не: TLi + THе = Q (2) По закону сохранения импульса: Полагая суммарный импульс частиц до реакции равным нулю, получим:
Отсюда для модулей импульсов имеем: Импульсы частиц и их кинетические энергии связаны соотношением
Решаем систему уравнений (2), (3): Т.к.
Произведем вычисления:
Ответ: Q = 2,8 МэВ; ТLi = 1,02 МэВ; ТНе = 1,78 МэВ.
Пример 9. Позитрон с кинетической энергией Т = 0,75 МэВ налетает на покоящийся свободный электрон. В результате аннигиляции возникает два γ-фотона с одинаковыми энергиями. Определите угол θ между направлениями из разлета.
При этом Из рисунка 55 получим:
Чтобы вычислить угол θ, надо определить импульс позитрона Энергию γ-фотона ε определим с помощью закона сохранения релятивистской энергии:
где Подставив в уравнение (*) значение 2εи значение импульса позитрона
Так как энергия покоя электрона (позитрона) m 0 c 2 = 0,511 МэВ, то получим:
Ответ: θ = 99°.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|