Основные законы и формулы. · Закон Био-Савара-Лапласа для элемента проводника с током

· Закон Био-Савара-Лапласа для элемента проводника с током

, или ,

где m – магнитная проницаемость изотропной среды;

m ₀ – магнитная постоянная (m ₀ = 4 p ×10^-7 Гн/м);

– радиус-вектор, направленный от элемента проводника к точке, в которой определяется магнитная индукция поля;

α – угол между радиусом-вектором и направлением тока в элементе провода.

· Магнитная индукция поля, созданного:

а) бесконечно длинным прямым проводником с током

,

где r ₀ – расстояние от оси провода до точки, в которой определяется магнитная индукция;

б) в центре кругового витка с током

,

где R – радиус витка;

в) отрезком проводника с током (рис. 21,а)

.

Обозначения ясны из рисунка.

.

г) бесконечно длинным соленоидом на его оси (внутри соленоида)

,

где n – отношение числа витков соленоида к его длине.

д) на оси кругового тока

,

где h – расстояние от центра витка до точки, в которой определяется магнитная индукция.

· Связь магнитной индукции с напряженностью магнитного поля

.

· Сила действующая на прямой провод с током в однородном магнитном поле (закон Ампера)

, или ,

где l – длина провода;

a – угол между направлением тока в проводе и вектором магнитной индукции .

Если поле неоднородно и провод не является прямым, то:

где – элемент провода с током I.

· Магнитный момент плоского контура с током I:

,

где – единичный вектор нормали к плоскости контура, направление которой определяется в соответствии с правилом буравчика;

S – площадь контура.

· Механический (вращательный) момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле

,или ,

где α – угол между векторами и .

· Сила Лоренца

, или ,

где – скорость заряженной частицы;

α – угол между векторами и .

Если заряженная частица находится одновременно в электрическом и магнитном полях, то под силой Лоренца понимают выражение:

.

· Магнитный поток:

а) в случае однородного магнитного поля и плоской поверхности

, или ,

где S – площадь контура;

α – угол между нормалью к плоскости контура и вектором магнитной индукции ;

б) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности:

,

(интегрирование ведется по всей поверхности).

· Потокосцепление (полный поток)

.

Эта формула верна для соленоида и тороида с равномерной намоткой плотно прилегающих друг к другу N витков.

· Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле

.

· Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея)

.

· ЭДС самоиндукции

.

· Индуктивность контура

.

· Индуктивность соленоида, имеющего N витков

, или ,

где – отношение числа витков соленоида к его длине;

– объем соленоида.

· Разность потенциалов на концах провода длиной l, движущегося со скоростью в магнитном поле

,

где α - угол между векторами и .

· Заряд, протекающий по замкнутому контуру при изменении магнитного потока, пронизывающего этот контур

, или ,

где R – сопротивление контура.

· Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлением R и индуктивностью L:

а) при замыкании цепи

,

где – сила тока цепи при t = 0;

t – время, прошедшее после замыкания цепи.

б) при размыкании цепи

,

где t – время, прошедшее с момента размыкания цепи.

· Энергия магнитного поля

.

· Объемная плотность энергии магнитного поля

,

где B – магнитная индукция;

H – напряженность;

V – объем магнитного поля.

· Закон полного тока для магнитного поля в веществе (теорема о циркуляции вектора )

.

· Циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль замкнутого контура, охватывающего ток I (закон полного тока для тока проводимости)

,

где H_l – проекция вектора напряженности на направление касательной к контуру, содержащей элемент dl;

I – сила тока, который охватывается контуром.

· Период собственных электромагнитных колебаний в контуре (формула Томпсона)

,

где L – индуктивность;

C – электроемкость контура.

При наличии потерь в контуре (при наличии омического сопротивления R) собственные колебания являются затухающими, причем период колебаний

,

а сила тока в контуре изменяется по закону затухающих колебаний:

.

· Скорость распространения электромагнитных волн в среде

,

где с – скорость электромагнитных волн в вакууме (с = 3×10⁸ м/с);

e – диэлектрическая проницаемость среды;

m – магнитная проницаемость среды.

Пример 1. Два параллельных бесконечно длинных провода А и С, по которым текут в одном направлении токи силой I ₁ = I ₂ = I = 50 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого проводниками с током в точке D, отстоящей от оси одного провода на расстоянии r ₁ = 5 см, от другого – на r ₂= 12 см.

Дано:	Решение:
I 1 = I 2 = I = 50 А d = 10 см = 0,10 м r 1 = 5 см = 0,05 м r 2 = 12 см = 0,12 м	Воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Для этого определим направления магнитных индукций и полей, создаваемых каждым проводником с током в отдельности, и сложим их геометрически:
-?

.

Модуль вектора В может быть найден по теореме косинусов:

,

где α – угол между векторами и .

Тогда

. (*)

Угол α =ÐADC – как углы при вершинах треугольников с взаимно перпендикулярными сторонами.

Из DАDС по теореме косинусов запишем:

, откуда .

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

.

Подставив в формулу (*) числовые значения физических величин, получим:

Ответ: В = 357,1 мкТл.

Пример 2. Изолированный прямолинейный проводник изогнут в виде прямого угла со стороной l = 20 см. В плоскости угла помещен кольцевой проводник радиусом R = 10 см так, что стороны угла являются касательными к нему (рисунок 23, а). Найти индукцию магнитного поля в центре кольца. Силы токов в проводниках одинаковы и равны I = 2 А. Влияние проводящих проводов не учитывать.

Рисунок 23

Дано:	Решение:
l = 20 см = 0,20 м R = 10 см = 0,10 м I 1 = I 2 = I = 2 А	Воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа и принципом суперпозиции магнитных полей. Вектор магнитной индукции суммарного поя в точке О ,
В -?

где – индукция магнитного поля, создаваемого прямолинейным проводником, согнутым в виде прямого угла;

– кругового проводника радиусом R.

Эти векторы перпендикулярны плоскости, в которой лежат прямой проводник АВ и круговой проводник радиусом R = r ₀, и совпадают по направлению (направлены на нас). Магнитная индукция, создаваемая в точке М конечным отрезком АВ прямого проводника на расстоянии r ₀ от него (рисунок 23,б) равна . Заметим, что при симметричном расположении точки М относительно отрезка АВ провода эта формула примет вид:

,

так как , а α ₁ = 45°.

Индукция от двух сторон угла составляет:

, где

Индукция магнитного поля в центре окружности радиуса R=r ₀ равна

.

Результирующая индукция магнитного поля в центре кольца

.

Произведем вычисления:

(Тл).

Ответ: В =18,2×10^-6 Тл=18,2 мкТл.

Пример 3. По тонкому проводящему кольцу радиусом R = 10 см течет ток I = 80 А. Найти магнитную индукцию в точке А, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r = 20 см.

Дано:	Решение:
R = 10 см = 0,10 м I = 8 А r = 20 см = 0,20 м	Выделим на кольце элемент проводника dl с током I и от него в точку А проведем радиус-вектор (рисунок 24). Вектор магнитной индукции поля, создаваемого элементом тока в точке А, направим в соответствии с правилом буравчика.

Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, магнитная индукция в точке А определяется интегрированием:

,

где интегрирование ведется по всем элементам dl кольца.

Разложим вектор на две составляющие: , параллельную плоскости кольца, и перпендикулярную плоскости кольца, т. е.

.

Тогда .

В силу симметрии . Векторы от различных элементов dl сонаправлены, поэтому скалярное значение вектора будет равно:

,

где и (по закону Био-Савара-Лапласа). Так как вектор перпендикулярен , то sin α =1. Следовательно,

,

где (рис. 24).

Тогда получим: .

Проверим размерность искомой величины :

.

Произведем вычисления:

Ответ: Вектор направлен по оси кольца (пунктирная стрелка на рисунке 24) и численно равен 62,8 мкТл.

Пример 4. По тонкому стержню длиной l = 50 см равномерно распределен заряд q = 60 нКл. Стержень вращается с частотой ν = 12 с^–1 относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через стержень на расстоянии а = l от одного из его концов. Определить магнитный момент P_m, обусловленный вращением стержня.

Дано:	Решение:
l =50 см = 0,50 м q = 60 нКл = 60×10-9 Кл ν = 12 с–1 а = l	По определению магнитный момент плоского контура с током I равна , где – единичный вектор нормали к плоскости контура S. Выделим элемент стержня длиной
Pm -?

dr с зарядом на нем . При вращении стержня относительно оси О элементарный круговой ток в данном случае определяется выражением

,

где n - частота вращения стержня. Магнитный момент элементарного кругового тока dP_m = S×dI, где S – площадь, ограниченная окружностью, описываемой элементом стержня dr с зарядом dq (S = pr ², где r – радиус этой окружности (рис. 25)).

Тогда .

Магнитный момент P_m, обусловленный вращением стержня длиной l вокруг оси О, определяем интегрированием двух частей стержня:

,

где 0, и – пределы интегрирования.

.

.

Произведем вычисления:

.

Ответ: P_m = 62,8 нА×м².

Пример 5. Длинный провод с током I = 50 А изогнут под углом α = 120°. Определить магнитную индукцию в точке А (рисунок 26). Расстояние

d = 5 см.

Дано:	Решение:
I = 50 A α = 120° d = 5 см = 5×10-2 м	Изогнутый провод можно рассматривать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О (рисунок 27). В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная индукция в точ-
-?

Магнитную индукцию В ₁ найдем, воспользовавшись выражением для магнитной индукции поля, создаваемого отрезком провода с током I:

,

где r ₀ – кратчайшее расстояние от провода 1 до точки А. В нашем случае α ₁®0 (провод длинный), , α ₂ = α = 120° (cos α ₂ = cos 120° = = ). Расстояние

Тогда магнитная индукция

.

Так как (B ₂=0), то .

Вектор сонаправлен с вектором и определяется правилом правого винта. На рисунке 27 это направление отмечено крестиком в кружочке (перпендикулярно плоскости чертежа, от нас)

Проверим, дает ли правая часть равенства единицу магнитной индукции (Тл):

.

Ответ: В =173 мкТл.

Пример 6. Бесконечно длинный провод с током I = 80 А изогнут так, как это изображено на рисунке 28. Определить магнитную индукцию в точке О. Радиус дуги R = 10 см.

Дано:	Решение:
I = 80 A R = 10 см = 0,1 м	Магнитную индукцию в точке О найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей: .
-?

Разобьем провод на пять частей (рисунок 29): три прямолинейных (1,3 и 5) и две дуги полуокружностей (2 и 4) радиусами R и 2 R. Тогда

,

где , , , и – магнитные индукции поля в точке О, создаваемые током I, текущим на выделенных пяти участках длинного провода. Так как точка О лежит на оси проводов 1 и 3, то и . Тогда .

Учитывая, что в соответствии с правилом буравчика векторы и направлены перпендикулярно плоскости чертежа на нас, вектор – перпендикулярно плоскости чертежа от нас, векторную сумму можно заменить алгебраической: В = В ₄+ В ₅ – В ₂.

Магнитные индукции В ₂ и В ₄ в точке О создаются лишь половинами кругового тока, поэтому (в соответствии с законом Био-Савара-Лапласа):

;

.

Магнитную индукцию В ₅ найдем, воспользовавшись выражением для магнитной индукции поля, создаваемого отрезком провода с током I:

.

В нашем случае , (), (). Тогда

.

Используя найденные выражения для В ₂, В ₄ и В ₅, получим

.

.

Произведем вычисления:

Ответ: В = 205,6 мкТл.

Пример 7. На упругой нити, постоянная кручения которой С = 9,8×10^-6 Н×м/рад, подвешена квадратная рамка со стороной а = 3 см, содержащая N = 200 витков тонкого провода. Плоскость рамки совпадает с направлением линии индукции внешнего магнитного поля. Определить индукцию внешнего магнитного поля, если при пропускании по рамке тока I = 1 А она повернулась на угол j = 60°.

Дано:	Решение:
С = 9,8×10-6 Н×м/рад a = 3 см = 0,03 м I = 1 А j = 60° N = 200	На рамку действуют два вращающих момента сил: – момент сил, с которым внешнее магнитное поле действует на рамку с током I, и – момент упругих сил, возникающих при закручивании
В -?

нити, на которой подвешена рамка. Рамка бу дет находиться в равновесии при выполнении условия:

.

Направления этих моментов противоположны друг другу, поэтому получим:

, (1)

(С – постоянная кручения, показывающая величину момента упругой силы, возникающей при повороте рамки на угол, равный единице, j – угол поворота рамки).

Если учесть, что , где I – сила тока в рамке, S – площадь рамки, а – сторона квадратной рамки, N – число витков рамки; равенство (1) можно переписать в виде:

,

откуда (2)

Из рис. 30 видно, что , значит, . С учетом этого равенство (2) примет вид:

.

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

.

Ответ: В =11,4×10^-5 Тл.

Пример 8. Магнитное поле создано кольцевым проводником радиусом R = 20 см, по которому течет ток I = 100 А. На оси кольца расположено другое кольцо малых размеров с магнитным моментом P_m = 10^-2 А×м². Плоскости колец параллельны, а расстояние между ними х = 1 см. Определить силу, действующую на малое кольцо.

Дано:	Решение:
R = 20 см = 0,2 м I = 100 А Pm = 10-2 А×м2 x = 1 см = 0,01 м	В неоднородном магнитном поле на контур действует сила ,
F -?

где – изменение вектора индукции магнитного поля, рассчитанного на единицу длины вдоль направления, совпадающего с вектором .

Индукция магнитного поля на оси кругового тока

,

где х – расстояние от центра кольца до точки, в которой определяется магнитная индукция. Тогда

и .

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу силы (Н):

.

Произведем вычисления:

.

Ответ: F = 1,35 мкН.

Пример 9. Электрон, влетев в однородное магнитное поле (В = 0,5 Тл), стал двигаться по окружности радиуса R = 8 см. Определить магнитный момент P_m эквивалентного кругового тока.

индукции . Так как сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости , то она сообщит электрону центростремительное ускорение .

Пусть линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости чертежа и направлены «от нас», тогда направление вектора и траектория электрона указаны на рисунок 32.

Движение электрона по окружности эквивалентно круговому току, который в данном случае определяется выражением

,

где е – заряд электрона;

Т – период его обращения.

Период обращения ,

где 2 pR – длина окружности (путь, проходимый электроном за период Т со скоростью ).

Тогда .

Магнитный момент P_m эквивалентного кругового тока ,

Где S – площадь, ограниченная окружностью, описываемой электроном (). Следовательно

. (*)

Так как , или , то . Подставив это выражение в равенство (*), получим

,

где е = 1,6×10^-19 Кл, m = 9,1×10^-31 кг.

Произведем вычисления:

Ответ: P_m = 7,03 пА×м².

Пример 10. Электрон движется в однородном магнитном поле (В =10 мТл) по винтовой линии, радиус которой R = 1 см и шаг и шаг h = 6 см. Определить период Т обращения электрона и его скорость .

Дано:	Решение:
В = 10 мТл = 10×10-3 Тл R = 1 см = 10-2 м h = 6 см = 6×10-2 м	Электрон будет двигаться по винтовой линии, если он влетает в однородное магнитное поле под некоторым углом () к линиям
Т -? -?

магнитной индукции. Разложим, как показано на рисунке 33, скорость электрона на две составляющие:

.

По модулю , где ; .

На электрон действует сила Лоренца

Рисунок 33

Сила Лоренца сообщает электрону нормальное ускорение . Согласно второму закону Ньютона можно написать , или , откуда . Период обращения электрона связан с составляющей скорости соотношением

.

Тогда получим: .

Произведем вычисления:

.

За время, равное периоду обращения Т, электрон пройдет вдоль силовой линии расстояние, равное шагу винтовой линии, т.е. , откуда

.

Модуль скорости электрона

.

Ответ: Т = 3,57 нс, = 24,6 Мм/с.

Дано:	Решение:
N = 1000 n = 10 с-1 В = 0,04 Тл α = 60° S = 100 см2 = 10-2 м2	По закону Фарадея-Максвелла: . Потокосцепление , где N – число витков катушки, пронизываемых магнитным потоком Ф.
e i -?

Тогда получим: .

Магнитный поток, пронизывающий катушку в момент времени t, изменяется по закону , где ω – угловая скорость катушки ().

Мгновенное значение ЭДС индукции:

.

Если учесть, что угол (рисунок 34), а , то получим

.

Произведем вычисления:

Ответ: ε _i =12,56 В.

Пример 12. Квадратная проволочная рамка со стороной а = 5 см и сопротивлением R = 10 мОм находится в однородном магнитном поле (В = 40 мТл). Нормаль к плоскости рамки составляет угол j = 30° с линиями магнитной индукции. Определить заряд q, который пройдет по рамке, если магнитное поле выключить.

Дано:	Решение:
а = 5 см = 5×10-2 м R = 10 мОм = 10-2 Ом В = 40 мТл = 4×10-2 Тл j = 60°	При выключении магнитного поля произойдет изменение магнитного потока. Вследствие этого в рамке возникает ЭДС индукции

Эта ЭДС индукции вызовет в рамке индукционный ток, мгновенное значение которого, согласно закону Ома для полной цепи, равно , R – сопротивление рамки. Тогда .

Так как мгновенное значение силы индукционного тока , то это выражение можно переписать в виде , откуда

.

Проинтегрировав это выражение, найдем:

, или .

Заметив, что при выключенном поле (конечное состояние) Ф ₂=0, последнее равенство перепишется в виде .

По определению магнитного потока имеем , где S – площадь рамки. Рамка квадратная, т.е. S = а ². Тогда и

.

Произведем вычисления:

.

Ответ: q = 8,67 мКл.

Пример 13. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток I = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (В = 1 Тл). Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол: 1) j ₁ = 90°; 2) j ₂ = 3°. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Дано:	Решение:
Чугун Сталь а = 10 см = 0,1 м I = 100 А В = 1 Тл j 1= 90° j 2= 3°	На контур с током в магнитном поле действует момент силы (рисунок 35) , (1) где – магнитный момент контура; В – магнитная индукция;
А 1-? А 2-?

Учитывая формулу (1), получаем

.

Работа А при повороте на конечный угол j равна

. (2)

1. Работа при повороте на угол j ₁= 90°

.

Произведем вычисления:

.

2. Работа при повороте на угол j ₂= 3°.

В этом случае, учитывая, что угол j ₂ мал, заменим в выражении (2) :

.

Выразим угол j ₂ в радианах: j ₂ = 3° = 0,0523 рад. Тогда

.

Ответ: А ₁ = 1 Дж; А ₂ = 1,37 мДж.

Пример 14. По соленоиду течет ток I = 5 А. Длина соленоида l = 1 м, число витков N = 500. В соленоид вставлен железный сердечник. Найти намагниченность j и объемную плотность энергии магнитного поля w соленоида.

Дано:	Решение:
I = 5 А L = 1 м N = 500	Намагниченность определяется отношением магнитного момента к объему магнетика и связана с напряжённостью магнитного поля соотношением , где χ – магнитная восприимчивость среды.
j -? w-?

Поле соленоида можно считать однородным. В этом случае напряжённость поля вычисляется по формуле ,

где – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида.

Связь между магнитной восприимчивостью χ и магнитной проницаемостью μ среды выражается формулой .

Используя соотношение , находим .

Тогда получим: ;

. (*)

Определим напряженность магнитного поля соленоида

.

По графику на рис. 36 находим, что напряжённости Н = 2500 А/м соответствует индукция магнитного поля В = 1,45 Тл.

Подставим в формулу (*) значения физических величин и произведём вычисления:

.

Объемная плотность энергии магнитного поля соленоида вычисляется по формуле

.

Ответ: j = 11,52 А/м; ω = 1812,5 Дж/м³.

К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 3

301. Бесконечно длинный провод изогнут так, как это показано на рис. 37. Радиус дуги окружности R =10 см. Определите магнитную индукцию поля, создаваемого в точке О током I =50 А, текущим по этому проводу.

302. Магнитный момент тонкого проводящего кольца =5 А×м². Определите магнитную индукцию в точке А, находящейся на оси кольца и удаленной от точек кольца на расстояние r =20 см (рисунок 38).

303. По двум скрещенным под прямым углом бесконечно длинным проводам текут токи I ₁=100 А и I ₂=200 А. Определите магнитную индукцию в точке А (рисунок 39). Расстояние d =10 см.

304. По двум бесконечно длинным проводам, скрещенным под прямым углом, текут токи I ₁=100 А и I ₂=200 А. Определите магнитную индукцию в точке А, равноудаленной от проводов на расстояние d =20 см (рисунок 40).

305. По бесконечно длинному проводу, изогнутому так, как показано на рисунке 41, течет ток I =200 А. Определите магнитную индукцию В в точке О. Радиус дуги R =15 см.

Рисунок 37       Рисунок 38         Рисунок 39       Рисунок 40         Рисунок 42   Рисунок 41

306. По бесконечно длинному проводу, изогнутому так, как показано на рисунке 42, течёт ток I =150 А. Определите магнитную индукцию в точке О. Радиус дуги R =20 см.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: