3 страница. Линейная форма плюс константа:

Линейная форма плюс константа:

есть, по определению, линейная функция.

Таким образом, левая часть уравнения (1) есть сумма:

квадратичная форма + линейная форма + константа,

или

квадратичная форма + линейная функция.

Все вместе есть квадратичная функция, или многочлен второй степени от переменных x и y.

Какие кривые или линии на плоскости может определять алгебраическое уравнение второго порядка (1) с условием (2)? Оказывается, их многообразие весьма невелико, о чем мы уже упоминали ранее. Во-первых, общее уравнение (1) с условием (2) может определять одну из 3-х рассмотренных нами кривых второго порядка: эллипс, гиперболу или параболу (из которых первые две являются центральными, а последняя центра не имеет). Если это так, то параллельным сдвигом и поворотом координатных осей можно привести (1) к каноническому виду одной из трех указанных кривых, о чем мы еще поговорим.

Кроме того, (1) может определять пару прямых:

а) пересекающихся, например:

или ,

и в этом случае у множества решений уравнения (1), т.е. у пары прямых, есть центр симметрии – точка пересечения прямых;

б) параллельных, например:

или

и в этом случае есть линия центров симметрии,

а, значит, снова по крайней мере один центр есть;

в) совпадающих, например:

.

Снова есть линия центров, совпадающая с прямой.

Далее, (1) может определять точку, например

– «вырожденный» эллипс.

В этом случае опять центр есть.

Наконец, (1) может определять пустое множество

.

Важная теорема, доказываемая в курсе аналитической геометрии, состоит в том, что других возможностей, кроме перечисленных: эллипс, гипербола, парабола, пара прямых, прямая, точка или пустое множество – быть не может! Причем, тип можно выяснить лишь с помощью сдвига и поворота осей, приведя уравнение (1) к каноническому виду.

Определитель матрицы квадратичной формы

не меняется при сдвиге и повороте, или говорят, что он является инвариантом этих преобразований. В связи с этим линии второго порядка классифицируются по следующим трем типам:

1) эллиптический, при ;

2) гиперболический, при ;

3) параболический, при .

Такую же классификацию мы будем применять к уравнению (1).

Доказывается, что для того, чтобы линия оказалась эллипсом необходима, чтобы уравнение имело эллиптический тип, гиперболой – гиперболический, параболой – параболический.

Однако это лишь необходимые условия, но не достаточные. Например, уравнение эллиптического типа может определять и точку – вырожденный эллипс, и пустое множество .

2. Приведение к каноническому виду

Если , то линия имеет центр С (x ₀, y ₀), который определяется из условий

(2)

Отметим, что определитель матрицы этой системы как раз есть , поэтому система имеет единственное решение, которое может быть найдено по правилу Крамера (условие не исключает случая пустого множества, которому мы условно будем приписывать центр, определяемый системой (2)).

Перенесем начало координат (с помощью параллельного сдвига осей) в точку С (x ₀, y ₀), и пусть – новые координаты.

Очевидно

(3)

(откуда ).

После подстановки выражений (3) в уравнение (1), члены, содержащие первые степени переменных, пропадут (!), и уравнение примет вид

(4)

где

(5)

(заметим, что при этом A, B, C не изменились).

Далее следует произвести поворот координатных осей вокруг начала С на угол (при – против часовой стрелки) так, чтобы в новых координатах в уравнении исчез смешанный член .

В курсах аналитической геометрии доказывается, что это всегда можно сделать за счет подходящего выбора угла поворота .

Формулы, связывающие координаты с новыми при повороте на угол , имеют вид:

(5)

Такая замена переменных называется линейным преобразованием координат, а матрица, составленная из коэффициентов при :

,

называется матрицей преобразования. Заметим, что ее определитель равен

.

В случае, когда определитель не равен нулю, преобразование называется невырожденным. (Итак, поворот есть невырожденное преобразование. Для невырожденного преобразования всегда имеется обратное преобразование: переход от новых переменных к старым. В случае поворота обратному преобразованию, разумеется, соответствует поворот на угол .)

Итак, выражения (5) следует подставить в уравнение (4), раскрыть скобки и собрать подобные члены, затем коэффициент при произведении положить равным нулю. Из этого условия и определяется угол , на который следует осуществить поворот, в результате которого пропадет смешанный член (!). После этого мы легко приходим к каноническому уравнению и выясняем тип линии.

Остается рассмотреть случай, когда

.

В этом случае либо система (2) имеет бесконечно много решений, либо не имеет их вовсе. Первое означает, что одно уравнение системы (2) вытекает из другого, и тогда существует прямая центров, определяемая одним из уравнений (2). Выбирая какое-либо решение x ₀, y ₀ системы (2) и осуществляя перенос центра в точку (x ₀, y ₀), мы избавляемся от членов первого порядка и легко получаем уравнения двух параллельных (в частности, совпадающих) прямых.

В случае, когда система (2) не совместна, центра нет, и тогда ясно, что мы имеем дело с параболой. Здесь не следует делать параллельный перенос, а сразу с помощью поворота нужно уничтожить смешанный член 2 Bxy в (1) (что возможно!). Формулы поворота на угол – те же самые:

(6)

В результате уравнение приобретает вид:

(или ).

Затем, с помощью переноса осей приходим к каноническому уравнению параболы (здесь используется прием «выделения полного квадрата»).

Пример. Уравнение или (*) определяет, как известно, гиперболу. Приведем ее к каноническому виду. Здесь . Система, определяющая центр,

имеет вид: . Значит, перенос не нужен, а нужен лишь поворот:

Подставляя в (*), получаем:

,

или

,

или

.

Выберем из условия

.

Можно взять . Тогда , и уравнение принимает вид:

, или .

Это и есть канонический вид. На картинке все видно:

Более сложный пример – для практических занятий (см. Ефимов «Краткий курс аналитической геометрии», с.139):

.

Сравним с уравнением

.

Следовательно,

.

Здесь тип эллиптический.

Найдем центр:

т.е.

или

Решение системы: . После переноса: уравнение приобретает вид

(здесь ).

Далее осуществляем поворот:

После подстановки получаем

выбираем так, чтобы пропал смешанный член (с ):

или

.

Делим на :

,

откуда

или

(два взаимно перпендикулярных направления).

Пусть . Тогда , откуда получаем:

или

.

Еще пример для практических занятий (см. Ефимов «Краткий курс аналитической геометрии», с.133):

. (*)

Здесь .

Центр определяется системой

или

– система несовместна, следовательно центра нет.

Осуществляем поворот

Поставляем в (*):

Коэффициент при приравниваем к нулю:

.

Делим на :

,

откуда

.

Пусть . Тогда

.

Выполняя перенос системы координат

получаем

или

,

где .

Лекция 6.

Тема: Понятие поверхности 2-го порядка

1. Общее уравнение поверхности 2-го порядка.

Мы знаем, что уравнение 1-го порядка

определяет (при ) плоскость в пространстве. Отметим что слева стоит линейная функция трех переменных x, y, z, или, иначе, многочлен первой степени от x, y, z. При этом функция

,

представляющая собой скалярное произведение вектора на вектор { x, y, z }, называется линейной формой в 3-х мерном пространстве. Линейная форма плюс константа есть линейная функция.

Рассмотрим теперь общее уравнение второй степени

. (1)

Здесь выражение

(2)

называется квадратичной формой от переменных x, y, z, а матрица

– матрицей этой квадратичной формы. Коэффициенты на главной диагонали – это коэффициенты при квадратах x ², y ², z ² формы. Принцип заполнения остальных «ячеек» матрицы становится более понятным, если заменить x, y, z на x ₁, x ₂, x ₃ соответственно (каков этот принцип?).

Предполагается, что не все коэффициенты квадратичной формы равны нулю. Итак, уравнение второй степени содержит в левой части квадратичную форму плюс линейную функцию, то есть квадратичная функцию, или многочлен 2-й степени. Все эти понятия уже использовались в двумерном случае. Линейная форма, квадратичная форма, линейная функция, квадратичная функция – все это примеры функций трех переменных, обозначаемых так: .

Вернемся к уравнению (1). Оно определяет поверхность второго порядка. Классификация поверхностей второго порядка в пространстве сложнее и разнообразнее, чем классификация кривых 2-го порядка на плоскости.

Уравнение (1) может определять поверхность в обычном смысле, но могут возникнуть и вырожденные случаи, например, пара плоскостей (пересекающихся, параллельных, совпадающих) или точка, или пустое множество (попробуйте привести примеры).

Мы обратимся сейчас к некоторым важным поверхностям, представленным в канонической форме.

2. Эллипсоид.

Уравнение

(3)

называется каноническим уравнением эллипсоида.

Эллипсоид – поверхность, которая в некоторой системе координат может быть представлена этим уравнением.

Здесь – полуоси эллипсоида. Положим . Получим сечение эллипсоида координатной плоскостью XOY:

– эллипс.

Сечения другими координатными плоскостями также представляют собой эллипсы.

Если , то эллипсоид превращается в шар

радиуса R с центром в начале координат.

Задание. Рассмотрите поверхности:

(4)

– однополостный гиперболоид,

(5)

– двуполостный гиперболоид,

(6)

– гиперболический параболоид (седло),

(7)

– коническая поверхность.

Рассмотрите сечения этих поверхностей координатными плоскостями (для поверхности (7) также ). Изобразите эти поверхности.

На этом мы заканчиваем знакомство с векторной алгеброй и аналитической геометрией и переходим к следующей теме, которая будет тесно связана с рассмотренными понятиями.

Тема: Линейная алгебра

1. Пространство Rⁿ.

Мы уже видели, что если в трехмерном пространстве задать систему координат, то векторы однозначно представляются тройками чисел

,

и операции над векторами приводят к соответствующим операциям над тройками чисел. Во многих вопросах математики и ее приложений приходится иметь дело не с тройками, а с четверками, пятерками и т.д. действительных чисел. Например, если предприятие выпускает n видов продукции в количествах x ₁, x ₂,... x_n единиц соответственно, то весь выпуск характеризуется набором

из n действительных чисел. Такие упорядоченные наборы из n чисел мы будем по-прежнему называть векторами, или n-мерными векторами. Если имеется другой вектор

,

то их сумма определяется как вектор

.

Если – число, то

.

Итак, операции сложения векторов и умножения на скаляр определяются покоординатно.

Пространством Rⁿ называется множество всех n -мерных векторов с покоординатным сложением и умножением на скаляр.

Многие другие понятия, относящиеся к Rⁿ, взяты из трехмерного пространства. Это – скалярное произведение:

;

модуль вектора:

;ё

расстояние между точками x и y (элементы Rⁿ мы будем называть векторами или точками в зависимости от ситуации):

.

Коль скоро есть понятие скалярного произведения, то есть и понятие ортогональности:

.

Более того, с помощью скалярного произведения вводится понятие угла между векторами x и y:

.

Конечно, при этом надо быть уверенным, что выражение справа, взятое по модулю, не превосходит единицы, или

. (1)

Неравенство (1) действительно всегда имеет место при любых . Более того, равенство возможно в том и только в том случае, когда , т.е. х коллинеарен y. Последнее означает, что при некотором (или ) и не исключает случая, когда или (и) . Здесь – нулевой вектор.

Неравенство (1) имеет название: неравенство Коши–Буняковского–Шварца. Сформулируем сказанное в виде теоремы и докажем ее.

Теорема 1. Имеет место неравенство (1), причем знак «=» возможен тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Рассмотрим функцию

.

Она неотрицательна при любом t, поскольку представляет собой квадрат длины вектора (x, y выбраны произвольно, но фиксированы, t – меняется).

С другой стороны, – квадратный трехчлен относительно t с коэффициентом (y, y) при t ². Поскольку он неотрицателен при всех t, то его дискриминант неположителен:

,

откуда вытекает требуемое неравенство:

.

Равенство в (1) имеет место тогда и только тогда, когда , но в этом случае трехчлен имеет корень t _*:

.

Теорема 1 доказана.

2. Линейная независимость, базис.

Введем понятие линейной независимости системы векторов в Rⁿ.

Система векторов

называется линейно независимой, если из равенства нулевому вектору линейной комбинации этих векторов

вытекает, что все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю:

.

Линейная комбинация с нулевыми коэффициентами называется тривиальной. Линейная независимость означает, что никакая нетривиальная линейная комбинация не равна нулевому вектору, нулевой может быть лишь тривиальная комбинация.

Линейная зависимость определяется как отрицание линейной независимости: существует нетривиальная комбинация равная нулевому вектору. Докажите, что это означает, что один из векторов системы является линейной комбинацией остальных. Таким образом, линейная независимость означает, что ни один из векторов системы не является линейной комбинацией остальных.

Система из одного вектора линейно независима (л.н.), если и только если .

Система л.н. ( не коллинеарен ).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: