Замкнені множини. Ізольовані, граничні, межові точки множин

Практикум з курсу

„Топологія”

Редактор А.Я. Пащенко

Техредактор Л.П. Замятіна

Коректор Т.А. Белиба

Підписано до друку.05.2013. Формат 60x84/16. Папір друкарський.

Друк плоский. Ум.друк.арк.. Ум.фарбовідб.. Обл.-вид.арк..

Тираж 100 пр. Зам. №.

РВВ ДНУ, пр. Гагаріна, 72, м. Дніпропетровськ, 49010.

Друкарня ДНУ, вул. Наукова, 5, м. Дніпропетровськ, 49050.

© Тушев А.В., Турбай Н.А., 2013

Метричні й топологічні простори

Варіант 1

1. Довести, що множина всіх неперервних на функцій складає метричний простір, якщо під відстанню між двома елементами та цієї множини розуміти число

.

2. Нехай і - дві метрики на множині . Довести, що якщо існують сталі та такі, що

,

то метрики та еквівалентні.

3. Нехай . Визначити, які з наступних наборів його підмножин є топологічними структурами на множині :

а) ,

б) ,

в) ,

Якщо який-небудь з наборів а) – в) виявиться топологією, то знайти сім’ю замкнених множин для цих топологій.

4. Довести, що .

Варіант 2

1. Визначити, чи є метричним простором множина всіх дійсних чисел, якщо під відстанню між двома числами та розуміти число

2. Довести, що метрики і , задані на множині , еквівалентні.

3. Нехай – промінь , а складається з , і всіх можливих променів , де . Визначити, чи є топологією на . Якщо так, знайти сім’ю замкнених множин.

4. Довести, що .

Варіант 3

1. Визначити, чи буде метричним простором множина дійсних чисел, якщо метрику на ній означити так:

.

2. Довести, що метрики і – еквівалентні на множині .

3. Нехай – числова пряма, складається з , і всіх можливих променів вигляду , де . Визначити, чи буде топологією на . Якщо так, знайти сім’ю замкнених множин.

4. Довести, що .

Варіант 4

1. Довести, що функція ⁺ ( ⁺– множина невід’ємних дійсних чисел) є метрикою на тоді і тільки тоді, коли виконуються такі умови:

а) ;

б) , .

2. Довести, що метрики і еквівалентні на множині.

3. Нехай – нескінченна множина, а – топологія скінчених доповнень на . Довести аксіоми відкритих множин. Знайти сім’ю замкнених множин.

4. Довести, що .

Варіант 5

1. Довести, що функція ⁺ ( ⁺– множина невід’ємних дійсних чисел) є функцією, яка задовольняє умовам:

а) ;

б) ,

то функція буде метрикою на .

2. Довести, що метрики і еквівалентні на множині.

3. Визначити, чи буде перетин топологій, які задані на одній і тій самій множині , топологією на .

4. Довести, що , – відображення і .

Варіант 6

1. Довести, що якщо і – метрики на , то і також є метриками на . Чи будуть метриками функції ; ; ?

2. Довести, що метрики і еквівалентні на множині .

3. Визначити, чи буде об’єднання топологій, які задані на одній і тій самій множині , топологією на .

4. Довести, що , – відображення і .

Варіант 7

1. Довести, що коли – метрика на , то функція також є метрикою, якщо задовольняє умовам , монотонно зростає і

, .

2. Показати, що метрики і (див. задачу 1) еквівалентні, якщо – неперервна функція.

3. Нехай – площина. Визначити, чи буде топологічною структурою набір множин, що складається з , і відкритих кругів з центром в одній і тій самій точці з різноманітними радіусами.

4. Довести, що , – відображення і .

Варіант 8

1. Нехай – метрика на . Довести, що функція також є метрикою.

2. Довести, що метрики і (див. задачу 1) еквівалентні.

3. Нехай і , , де . Визначити, чи буде топологією на множині . Якщо так, то навести опис сім’ї замкнених множин.

4. Довести, що , – відображення і .

Варіант 9

1. Нехай – метричний простір і . Довести, що – метрика на .

2. Довести, що метрики та з задачі 1 еквівалентні.

3. Знайти число різних топологій на множині з трьох елементів. Навести опис сім’ї замкнених множин цих топологій.

4. Навести приклад, коли , де – відображення і .

Замкнені множини. Ізольовані, граничні, межові точки множин

Варіант 1

1. Знайти всі граничні, межові, ізольовані та внутрішні точки множин, що належать :

а) ;

б) ( \ ) .

Ці множини є відкритими чи замкненими?

2. Знайти замикання множин усіх точок вигляду , де .

3. Навести опис топологічної структури, замкнених множин і околи точок, що індукуються в множині топологією прямої .

4. Нехай множина відкрита в топологічному просторі і , де . Довести, що .

5. Нехай – підмножина метричного простору. Відомо, що . Довести, що не має граничних точок.

Варіант 2

1. Знайти всі граничні, межові, ізольовані та внутрішні точки множин:

а) ( ; б) де .

Ці множини є відкритими чи замкненими?

2. Знайти замикання множини всіх точок вигляду , де – усі можливі цілі числа, відмінні від нуля.

3. Описати топологічну структуру , що індукована в топологією стрілки. (простір із задачі 3 варіанта 2 лабораторної роботи 1 називається стрілкою). Описати в топологічному просторі (, ) сім’ю замкнених множин околів точки.

4. Нехай множина – замкнена, а множина – відкрита. Довести, що – замкнена, – відкрита.

5. Нехай – множина вигляду , де пробігають усі натуральні числа. Визначити, чи буде множина замкненою. Яка у неї похідна множина? Якими будуть друга та третя похідні множини?

Варіант 3

1. Знайти всі граничні, межові, ізольовані та внутрішні точки множин:

а) ( ;

б) де .

Ці множини є відкритими чи замкненими?

2. Знайти замикання множини всіх точок вигляду , де пробігають цілі числа .

3. Описати топологічну структуру, що є індукованою у множині цілих чисел топологією множини дійсних чисел із задачі 3 варіант 1 лабораторної роботи 1. Описати замкнені множини та сім’ю околів точки в .

4. Визначити, чи справді для будь-яких множин і топологічного простору виконуються рівності ; .

5. Нехай метрика на множині задовольняє такі умови

, .

Довести, що у метричному просторі сфери не тільки замкнені, а ще й відкриті.

Варіант 4

1. Знайти всі граничні, межові, ізольовані та внутрішні точки множин:

а) ( \ ) ; б) .

Ці множини є відкритими чи замкненими?

2. Знайти замикання множини всіх точок вигляду , де .

3. Навести опис топологічної структури , що є індукованою на множині топологією скінчених доповнень у множині дійсних чисел. Навести опис замкнених множин та околи точок в просторі (, ).

4. Довести, що якщо множини і топологічного простору задовольняють умові , то .

5. Довести, що множина метричного простору обмежена тоді і тільки тоді, коли вона міститься у деякій кулі. Як пов’язані між собою радіус цієї кулі і ?

Варіант 5

1. Знайти всі граничні, межові, ізольовані та внутрішні точки множин:

а) ( ;

б) .

Ці множини є відкритими чи замкненими?

2. Знайти замикання множини всіх точок вигляду , де пробігають від’ємні цілі числа.

3. Довести, що топологія числової прямої і топологія що індукована на множині дійсних чисел за допомогою топології площини (топології ²), збігаються. Довести, що єдиною відкритою множиною прямої, яка також відкрита на площині, є .

4. Довести, що відкрита множина тоді і тільки тоді перетинається з множиною , коли ( і – підмножини топологічного простору).

5. Навести приклад двох неперетинних замкнених множин на прямій, відстань між якими дорівнює нулю.

Варіант 6

1. Знайти всі граничні, межові, ізольовані та внутрішні точки множин:

а) \ ;

б) | .

Ці множини є відкритими чи замкненими?

2. Знайти замикання множини всіх точок вигляду , де – натуральні числа.

3. Довести, що множина відкрита в топологічному просторі тоді і тільки тоді, коли кожна точка множини має в такий окіл , що відкритий в .

4. Довести, що для будь-яких неперетинних відкритих множин топологічного простору замикання одного з них не перетинається з іншим.

5. Нехай – нескінченна множина, яка має топологією скінчених доповнень. Перевірити аксіоми відкритих множин і довести, що кожна точка є граничною для будь-якої нескінченої підмножини .

Варіант 7

1. Знайти всі граничні, межові, ізольовані та внутрішні точки множин:

а) ;

б) | .

Ці множини є відкритими чи замкненими?

2. Знайти замикання всіх точок вигляду , де – всілякі невід’ємні цілі числа.

3. Нехай – підпростір топологічного простору і . Нехай також – замикання у підпросторі , – замикання у просторі . Показати, що .

4. Довести, що коли – замкнена множина топологічного простору, то .

5. Нехай і – довільні підмножини топологічного простору. Довести, що . Навести приклад, коли ці множини не збігаються.

Варіант 8

1. Знайти всі граничні, межові, ізольовані та внутрішні точки множин:

а) \ ) ;

б) | .

Ці множини є відкритими чи замкненими?

2. Знайти замикання всіх точок вигляду , де – від’ємне ціле число, а – натуральне.

3. Нехай і - топології на такі, що . Нехай далі – замикання множини відносно . Довести, що для .

4. Довести, що для будь-якої множини топологічного простору .

5. Довести, що підмножина метричного простору відкрита тоді і тільки тоді, коли для .

6.

Варіант 9

1. Знайти всі граничні, межові, ізольовані та внутрішні точки множин:

а) \ ) ;

б) | .

Ці множини є відкритими чи замкненими?

2. Знайти замикання всіх точок вигляду , де – від’ємне ціле число, а – натуральне.

3. Нехай – підпростір топологічного простору і . Нехай також – внутрішність в , – внутрішність в . Чи вірно, що ?

4. Довести, що ізольована точка множини топологічного простору належить тоді й тільки тоді, коли множина відкрита в . У противному разі точка є межовою точкою .

5. Визначити, чи дійсно . Чи буде , якщо ?

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: