Аксіоми зчисленності та відокремленості.

Нормальні простори. Гомеоморфні простори

Варіант 1

1. Нехай – простір з другою аксіомою зчисленності. Довести, що з будь-якої бази простору можна виділити зчисленний набір множин, який також буде базою простору .

2. Навести приклад – простору, який не є – простором.

3. Довести, що замкнений підпростір нормального простору також є нормальним.

4. Нехай , – неперервні відображення . Довести, що підмножина простору , що складається з усіх розв’язків системи нерівностей , , буде відкритою. Чи можна скінченну систему замінити нескінченною?

Варіант 2

1. Нехай – множина дійсних чисел і β – сім’я всіх інтервалів типу , . Довести, що сім’я β є базою деякої топології τ і що топологічний простір – нормальний неметризований сепарабельний простір з першою аксіомою зчисленності, на якому не виконується друга аксіома зчисленності.

2. Навести приклад негаусдорфового – простору

3. Нехай – гаусдорфів простір, у якому множина неізольованих точок скінченна. Довести, що – нормальний простір.

4. Побудувати гомеоморфізми між множинами:

а) та , ;

б) та ;

в) та .

Варіант 3

1. Довести, що – топологічний простір та вибрати в ньому дві різні бази, якщо:

, ø, .

2. Нехай і – дві різні топології на одній і тій самій множині і . Довести, що якщо – – простір ( – простір), тоді – – простір ( – простір).

3. Довести, що регулярність є спадковою властивістю.

4. Довести, що простір гомеоморфний до будь-якої відкритої кулі цього простору.

Варіант 4

1. Довести, що – топологічний простір і вибрати мінімальну базу, якщо:

, ø, .

2. Довести, що – простір, у якому тільки одна точка не ізольована, а решта точок – ізольовані,- нормальний простір.

3. Довести, що в – просторі множина всіх граничних точок будь-якої підмножини замкнена.

4. Нехай і – такі неперервні відображення топологічного простору в гаусдорфів простір , що множина скрізь щільна в . Довести, що на всьому просторі .

Варіант 5

1. Нехай β – база топологічного простору і . Довести, що сім’я де утворює базу в підпросторі .

2. Довести, що в – просторі точка, база якої складається із скінченного числа елементів, ізольована.

3. Довести, що в означенні регулярного простору аксіому можна замінити на аксіому . Чи виконується це твердження для нормальних просторів?

4. Нехай , – неперервні відображення топологічного простору в . Довести, що підмножина топологічного простору , яка складається із всіх розв’язків системи рівнянь , буде замкненою. Чи можна скінченну систему рівнянь замінити нескінченною?

Варіант 6

1. Довести, що топологічний добуток скінченного числа топологічних просторів з другою аксіомою зчисленності буде топологічним простором з другою аксіомою зчисленності. Чи виконується обернене твердження?

2. Довести, що підмножина топологічного простору з першою аксіомою зчисленності замкнена тоді і тільки тоді, коли межа будь-якої збіжної в послідовності з належить .

3. Нехай – множина дійсних чисел. Довести, що сім’я всіх інтервалів типу , буде базою деякої топології τ на множині . Довести, що – нормальний простір.

4. Нехай , – неперервні відображення топологічного простору в . Довести, що підмножина топологічного простору , яка складається із всіх розв’язків системи рівнянь , буде відкритою. Чи можна скінченну систему рівнянь замінити нескінченною?

Варіант 7

1. Довести, що будь-який підпростір простору з другою аксіомою зчисленності буде простором з другою аксіомою зчисленності.

2. Довести, що будь-який підпростір – простору буде – простором.

3. Довести, що – простір буде нормальним тоді і тільки тоді, коли для будь-яких двох замкнених неперетинних у ньому підмножин існує такий окіл однієї з них, що його замикання не перетинається з іншими.

4. Довести, що вся площина ² гомеоморфна до будь-якого відкритого квадрату цієї площини.

Варіант 8

1. Навести приклад, який довів би, що неперервний образ простору з другою аксіомою зчисленності може не задовольняти цій аксіомі.

2. Довести, що у – просторі будь-яка множина буде перетином деякої сім’ї відкритих множин.

3. Довести, що – простір тоді і тільки тоді регулярний, коли для будь-якої точки та будь-якої замкненої множини , що не містить цю точку, існує такий окіл , для якого .

4. Довести, що будь-який відкритий прямокутник в ² буде гомеоморфний в ².

Варіант 9

1. Довести, що образ бази при неперервних відображеннях може не бути базою.

2. Навести приклад – простору, у якому ніяка множина з однією точкою не є замкненою.

3. Довести, що образ нормального простору при неперервному замкненому відображенні буде нормальним простором.

4. Довести, що замкнений круг в ² буде гомеоморфний до замкненого квадрату в ².

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: