1 страница. Задача 8. Найти общее решение и фундаментальную систему решений

Задача 8. Найти общее решение и фундаментальную систему решений

для системы уравнений.

Задача 9. Написать разложение вектора по векторам , и .

Задача 10-16. Условия приведены в задании.

ВАРИАНТ 1

1. 2. , ,

3. , 4. 5.

6. 7. 8.

9. , , и

10. Вычислить проекцию вектора на направление вектора ,

где ; .

11. Векторы и образуют угол в , , . Найти длину

вектора , если .

12. Лежат ли точки , , и в одной

плоскости?

13. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин

и уравнения двух высот: и .

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось и точку

.

15. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку

перпендикулярно к вектору и пересекает прямую

.

16. Принадлежит ли прямая плоскости ?

ВАРИАНТ 2

1. 2. , ,

3. , 4. 5.

6. 7. 8.

9. , , и

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам и

.

11. Сила приложена к точке . Определить момент

этой силы относительно точки .

12. Какую тройку (левую или правую) образуют векторы ,

и ?

13. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину ,

а также уравнения высоты и медианы ,

проведенных из различных вершин.

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку и

отсекающей от осей координат положительные и равные отрезки.

15. Составить каноническое уравнение прямой, лежащей в плоскости ,

проходящей через начало координат и перпендикулярной к прямой

.

16. Найти угол между прямой и плоскостью, проходящей

через точки , , .

ВАРИАНТ 3

1. 2. , ,

3. , 4. 5.

6. 7. 8.

9. , , и

10. При каком t векторы и будут взаимно

перпендикулярны?

11. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и

, если , угол между векторами и равен .

12. Компланарны ли векторы , и ?

13. Через точку пересечения прямых и провести

прямую, которая, кроме того, 1) проходит через начало координат;

2) параллельна оси абсцисс; 3) параллельна оси ординат;

4) проходит через точку .

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М(1; 2; 0) и

N(2; 1; 1) параллельно вектору (3; 0; 1).

15. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (3; -2; 0) перпен-

дикулярно к прямой и расположенной в плоскости .

16. Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения

плоскости с прямыми и

.

ВАРИАНТ 4

1. 2. , ,

3. , 4. 5.

6. 7. 8.

9. ={11; 5; -3}, ={1; 0; 2}, ={-1; 0; 1} и {2; 5; -3}

10. Доказать,что точки А(1; -1; 1), B(1; 3; 1), C(4; 3; 1), D(4; -1; 1) являются

вершинами прямоугольника. Вычислить длину его диагоналей.

11. Вычислить площадь треугольника ABC, вершины которого лежат в точках

А(2; 3; 4), B(4; 3; 2), и C(1; 1; 1).

12. При каком значении точки А(1; 0; 3), B(-1; 3; 4), C(1; 2; 1), и D(; 2; 5)

лежат в одной плоскости?

13. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых

и и через точку A(2; 1).

14. Даны координаты вершин тетраэдра А(2; 0; 0), B(5; 3; 0), C(0; 1; 1),

D(-2; -4; 1). Найти двугранный угол между гранями ABC и ABD.

15. При каком значении прямые и

параллельны?

16. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(4; 0; -1) и

пересекающей две данные прямые и .

ВАРИАНТ 5

1. 2. , ,

3. , 4. 5.

6. 7. 8.

9. ={13; 2; 7}, ={5; 1; 0}, ={2; -1; 3} и ={1; 0; -1}

10. В прямоугольном треугольнике АВС углы при вершинах А и С равны и

, а длина гипотенузы равна 2. Вычислить

11. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторам ={0; -1; 2} и

={1; 3; 3} и удовлетворяет условию .

12. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(0; 0; 1), B(2; 3; 5),

C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).

13. Вычислить координаты вершины ромба, если известны уравнения двух его

сторон: x + 2y = 4 и x + 2y = 10, и уравнение одной из его диагоналей:

y = x + 2.

14. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М(1; 1; 1) и N(-1; 1;-1)

параллельно прямой, определяемой точками А(5; -2; 3) и В(6; 1; 0).

15. При каком значении D прямая проходит через начало

координат?

16. Найти точку, симметричную точке А(3; -1; 4) относительно прямой

.

ВАРИАНТ 6

1. 2. , ,

3. , 4.

5.

6. 7. 8.

9. ={2; 7; 5}, ={1; 0; 1}, ={1; -2; 0} и ={0; 3; 1}

10. Даны точки А(0; -3; 4), В(2; 5; -1) и С(-4; 2; -2). Вычислить скалярное

произведение векторов и

11. Найти длину высоты треугольника АВС, опущенной из вершины С на

сторону АВ, если A(2; 3; 4), B(4; 3; 2) и C(1; 1; 1).

12. Какую тройку (правую или левую) образуют векторы ,

и ?

13. Найти вершины прямоугольного равнобедренного треугольника, если дана

вершина прямого угла С(3; -1) и уравнение гипотенузы 3x – y + 2 = 0.

14. Составить уравнение плоскости, проходящей через перпендикуляры,

опущенные из точки А(2; 0; 1) на плоскости x – 3y +2z = 0 и 2x – y + 2z = 0.

15. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку

М(2; 1; 3), параллельно прямой x = 3+t, y = 3t, z = 2-t.

16. Найти угол между прямой, проходящей через точки А(-1; 0; -5) и В(1; 2; 0),

и плоскостью x – 3y + z + 5 = 0.

ВАРИАНТ 7

1
. 2. , ,

3. , 4.

5.

6. 7. 8.

9. ={-9; 5; 5}, ={4; 1; 1}, ={2; 0; -3} и ={-1; 2; 1}

10. Треугольник АВС задан координатами своих вершин А(-1; -2; 4), В(-4; -2; 0)

и С(3; -2; 1). Определить его внешний угол при вершине В.

11. Раскрыть скобки и упростить выражение:

.

12. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах

, , , где и - взаимно

перпендикулярные орты.

13. Стороны АВ и ВС параллелограмма заданы уравнениями 2x – y + 5 = 0 и

x – 2y + 4 = 0, диагонали его пересекаются в точке М(1; 4). Найти уравнение

сторон CD и AD.

14. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; -3; 1)

параллельно векторам и .

15. Даны вершины треугольника А(1; 0; -1), В(2; 1; 3), С(0; -1; 1). Составить

уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.

16. Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки А(-1; 3; 2) на

плоскость 2x – y + z + 3 = 0.

ВАРИАНТ 8

1. 2. , ,

3. , 4. 5. =

6. 7. 8.

9. ={-5; -5; 5}, ={-2; 0; 1}, ={1; 3; -1} и ={0; 4; 1}

10. Найти координаты вектора , коллинеарного вектору ={3; -4; 0}, если известно, что вектор образует с осью тупой угол и =10.

11. ={3; 1; -1}, ={-2; 1; 4}. Вычислить .

12. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(0; 0; 1), B(2; 3; 5),

C(6; 2; 3) и D(3; 7; 2).

13. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М пересечения

прямых 2x + y + 6 = 0 и 3x + 5y – 15 = 0 и через точку N(1; -2).

14. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; 5; 3) параллельно

плоскости x + 2y - 3z + 2= 0.

15. При каком значении прямые и

перпендикулярны?

16. Проверить, что прямые и пересекаются.

Найти уравнение плоскости, в которой они лежат.

ВАРИАНТ 9

1. 2. , ,

3. , 4. 5.

6. 7. 8.

9. ={13; 2; 7}, ={5; 1; 0}, ={2; -1; 3} и ={1; 0; -1}

10. По координатам вершин треугольника АВС A(1; 1; -1), B(2; 4; -1) и

C(8; 3; -1) выяснить, является ли он прямоугольным, остроугольным или

тупоугольным.

11. Раскрыть скобки и упростить выражение:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: