2 страница. 13. В треугольнике АВС даны: уравнение стороны АВ: 3x + 2y = 12, уравнение

.

12. При каком m векторы , и

компланарны?

13. В треугольнике АВС даны: уравнение стороны АВ: 3x + 2y = 12, уравнение

высоты BM: x + 2y = 4, уравнение высоты АМ: 4x + y = 6, где М - точка

пересечения высот. Написать уравнения сторон АС и ВС.

14. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2; 3; -1) и В (1; 5; 3)

перпендикулярно плоскости 3x – y + 3z + 15 = 0.

15. Через точку М(2; -1; 3) провести прямую, параллельную прямой

.

16. Написать каноническое уравнение прямой, которая проходит через точку

М(3; -2; -4) параллельно плоскости 3x – 2y – 5z – 7=0 и пересекает прямую

.

ВАРИАНТ 10

1. 2. , ,

3. , 4. 5. =

6. 7. 8.

9. ={-19; -1; 7}, ={0; 1; 1}, ={-2; 0; 1} и ={3; 1; 0}

10. Проверить будет ли треугольник АВС (A(1; 2; 3), B(7; 10; 3), C(-1; 3; 1))

прямоугольным?

11. Раскрыть скобки и упростить выражение:

.

12. Найти объем параллелепипеда с вершинами в точках A(2; 2; 2), B(4; 3;3),

C(4; 5; 4) и D(5; 5; 6).

13. Дано уравнение 3x + 4y – 12 = 0 стороны АВ параллелограмма ABCD,

уравнение x + 12y - 12 = 0 диагонали АС и середина Е стороны ВС.

Найти уравнения сторон ВС, СD и AD.

14. Cоставить уравнение плоскости, проходящей через точку М (2; -3; 5)

перпендикулярно линии пересечения плоскостей 2x + y - 2z + 1 = 0 и

x + y + z –5 = 0.

15. Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую

.

16. При каком значении плоскость 5x – 3y + z + 1 = 0 будет параллельна

прямой ?

ВАРИАНТ 11

1. 2. , ,

3. , 4. 5. =

6. 7. 8.

9. ={3; -3; 4}, ={1; 0; 2}, ={0; 1; 1} и ={2; -1; 4}

10. Найти работу силы ={4; -1; 1} на перемещении ={5; 3; -2}.

11. Вычислить координаты вектора , перпендикулярного векторам

и и образующего тупой угол с осью , если

.

12. Доказать, что точки A(1; -2; 2), B(1; 4; 0), C(-4; 1; 1) и D(-5; -5; 3) лежат в

одной плоскости.

13. Даны уравнения сторон параллелограмма ABCD: AB: 3x + 4y - 12 = 0,

AD: 5x - 12y - 6 = 0 и середина Е(-2; 1) стороны BC. Найти уравнения двух

других сторон параллелограмма.

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

(1; 2; 0), (2; 1; 1), (3; 0; 1).

15. Через точку А(0; -2; 1) провести прямую так, чтобы она пересекала две

данные прямые и

16. Найти расстояние от точки А(2; 3; -1) до прямой .

ВАРИАНТ 12

1. 2. , ,

3. , 4. 5. =

6. 7. 8.

9. ={8; 0; 5}, ={2; 0; 1}, ={1; 1; 0} и ={4; 1; 2}

10. Найти скалярное произведение векторов и , если

и .

11. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и

, если , а угол между векторами и равен .

12. Какую тройку (левую или правую) образуют векторы ,

, ?

13. Даны вершины треугольника А(2; 1), B(-1; -1), C(3; 2). Составить уравнение

высоты, опущенной на сторону ВС, и медианы, проведенной к стороне АС.

14. Плоскость проходит через ось и составляет с плоскостью

2x + y - z = 0 угол . Найти её уравнение.

15. Пересекаются или нет прямые и ?

16. Найти проекцию точки М(0; 1; 2) на прямую .

ВАРИАНТ 13

1. 2. , ,

3. , 4. 5. =

6. 7. 8.

9. ={3; 1; 8}, ={0; 1; 3}, ={1; 2; -1} и ={2; 0; -1}

10. Найти угол между векторами и , если и

.

11. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

{2; -1; 5} и {2; 3; 6} как на сторонах.

12. Проверить, компланарны ли векторы , ,

.

13. Найти проекцию точки М(1; 1) на прямую .

14. Написать уравнение плоскости, параллельной оси и проходящей через

точки А(-1; 2; 1) и В(3; 0; 2).

15. Проверить, пересекаются ли прямые и

.

16. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую

, перпендикулярно плоскости 3x + y – 2z + 5 = 0.

ВАРИАНТ 14

1. 2. , , C=2A-3B

3. , 4. 5. =

6. 7. 8.

9. ={8; 1; 12}, ={1; 2; -1}, ={3; 0; 2} и ={-1; 1; 1}

10. Даны векторы и . При каком векторы

и перпендикулярны?

11. Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках А(2; 2; 2),

B(4; 0; 3) и C(0; 1; 0).

12. Проверить будут ли компланарны векторы , и

?

13. Найти точку N, симметричную точке М(0; -3) относительно прямой

.

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось и точку

M(2; -1; 3).

15. Даны вершины треугольника А(1; 0; 2), B(-2; 3; -1), C(3; -2; 4). Составить

уравнение медианы из вершины В на сторону АС.

16. Через прямую x = 2t + 1, y = -t + 2, z = 3t – 2 провести плоскость

параллельную прямой .

ВАРИАНТ 15

1. 2. , ,

3. , 4.

5.

6. 7. 8.

9. ={-9; -8; -3}, ={1; 4; 1}, ={-3; 2; 0} и ={1; -1; 2}

10. Найти скалярное произведение векторов и , если

, .

11. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторам и

и удовлетворяет условию .

12. Заданы точки А(1; 2; -2), B(3; 2; -1), C(0; 1; -2) и D(3; 2; 3). Найти объем

тетраэдра АBCD.

13. Составить уравнения сторон треугольника, зная его вершину С(1; 2), а так-

же уравнения высоты x – 2y + 1 = 0 и медианы 4x + y + 2 = 0, проведенных

из одной вершины.

14. Из точки Р(2; -1; 3) опущен на плоскость перпендикуляр, его основание

М(1; 2; 4). Найти уравнение плоскости.

15. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку А(1; -5; 3) и

образует с осями координат углы, соответственно равные , , .

16. Найдите точку В, симметричную точке А(2; 0; 1) относительно прямой

.

ВАРИАНТ 16

1. 2. , ,

3. , 4. 5. =

6. 7. 8.

9. ={-5; 9; -13}, ={0; 1; -2}, ={3; -1; 1} и ={4; 1; 0}

10. Векторы и образуют угол . Найти длину вектора , если

, .

11. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и

, если , а угол между векторами и равен .

12. Компланарны ли векторы ?

13. В треугольнике АВС даны: уравнение стороны АВ: 3x – 4y + 5 = 0,

уравнение высоты АМ: x + 2y – 10 = 0 и высоты BN: 2x – 3y + 4 = 0.

Составить уравнения двух других сторон треугольника.

14. Через линию пересечения плоскостей 4x – y + 3z – 1 = 0 и x + 5y – z +2 = 0

провести плоскость, проходящую через точку M(1; 1; 1).

15. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А(-1; 0; 3) на

прямую .

16. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую

и перпендикулярной к плоскости 2x + 3y – z = 4.

ВАРИАНТ 17

1. 2. , ,

3. , 4. 5.

6. 7. 8.

9. ={3; 3; -1}, ={3; 1; 0}, ={-1; 2; 1} и ={-1; 0; 2}

10. Найти при каком векторы и будут

взаимно перпендикулярны, если , .

11. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

и как на сторонах.

12. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A(1; 3; 6), B(2; 2; 1),

C(-1; 0; 1), D(-4; 6; -3).

13. Найти уравнения прямых, проходящих через точку М(-1; 2) под углом

к прямой x – 2y + 3 = 0.

14. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и

перпендикулярной к двум плоскостям: 2x – y + 5z + 3 = 0 и x + 3y – z – 7 = 0.

15. Даны точки пересечения прямой с двумя координатными плоскостями

и . Вычислить координаты точки пересечения этой же

прямой с третьей координатной плоскостью.

16. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М(1; 0; -1) на

прямую .

ВАРИАНТ 18

1. 2. , , C=

3. , 4. 5. =

6. 7. 8.

9. ={2; -1; 11}, ={1; 1; 0}, ={0; 1; -2} и ={1; 0; 3}

10. Заданы точки A(-2; 4; 0), B(1; 3; -5), C(0; -1; 1) и вектор .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: