3 страница. Вычислить скалярное произведение векторов и .

Вычислить скалярное произведение векторов и .

11. Найти орт , перпендикулярный векторам и .

12. Заданы векторы , и . Какую тройку

(левую или правую) образуют векторы , и ?

13. Даны две вершины треугольника А(5; -2) и B(-4; 1); его высоты

пересекаются в точке N(3; 2). Найти координаты третьей вершины С.

14. Через точку M(-5; 16; 12) проведены две плоскости: одна из них содержит

ось , другая - ось . Вычислить угол между этими двумя плоскостями.

15. Указать особенность в расположении прямой

16. Найти точку В, симметричную точке А(1; 2; 0) относительно плоскости

2x – 3y + 5z = 5.

ВАРИАНТ 19

1. 2. , ,

3. , 4.

5.

6. 7. 8.

9. ={5; 15; 0}, ={1; 0; 5}, ={-1; 3; 2} и ={0; -1; 1}

10. Определить угол между векторами и .

11. Вычислить векторное произведение векторов и , если

, .

12. Проверить, лежат ли точки А(5; 2; 0), В(2; 5; 0), С(1; 2; 4) и D(-1; 1; 1) в

одной плоскости?

13. Найти точку В, симметричную точке А(4; -3) относительно прямой,

проходящей через точки М(1; -2) и N(-3; 2).

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения

плоскостей 4x – y + 3z – 6 = 0 и x + 5y – z +10 = 0 и перпендикулярной к

плоскости 2x – y + 5z – 5 = 0.

15. При каких значениях коэффициентов B и D прямая

лежит в плоскости ?

16. Найти точку пересечения прямой x = 2t – 1, y = t + 2, z = 1 – t c плоскостью

3x – 2y + z - 3 = 0.

ВАРИАНТ 20

1. 2. , , С=

3. , 4. 5. =

6. 7. 8.

9. ={6; -1; 7}, ={1; -2; 0}, ={-1; 1; 3} и ={1; 0; 4}

10. Найти угол между векторами и , если А(-4; -2; 0), В(-1; -2; 4) и С(3; -2; 1).

11. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам и

.

12. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А(2; -1; -2), В(1; 2; 1),

С(5; 0; -6) и D(-10; 9; -7).

13. Найти проекцию точки Р(4; 5) на прямую, проходящую через точки А(3; -2)

и В(6; -1).

14. Найти угол между плоскостью, проходящей через точки О(0; 0; 0),

A(a; -a; 0) и B(a; a; a), и плоскостью .

15. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты в уравнениях

прямой , чтобы прямая пересекала ось ?

16. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямые

и .

ВАРИАНТ 21

1. 2. , ,

3. , 4. 5.

6. 7. 8.

9. ={-1; 7; -4}, ={-1; 2; 1}, ={2; 0; 3} и ={1; 1; -1}

10. Найти угол между векторами и , если А(2; 1; -1), В(6; -1; -4) и

С(4; 2; 1).

11. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам и

.

12. Проверить, лежат ли точки А(5; 2; 0), В(2; 5; 0), С(1; 2; 4) и D(-1; 1; 1) в

одной плоскости?

13. Даны две смежные вершины А(5; -2) и В(3; 1) параллелограмма ABCD и

точка Q(0; 2) пересечения его диагоналей. Составить уравнения сторон BC и

CD и прямой, проходящей через точку Q параллельно стороне ВС.

14. Написать уравнение плоскости, параллельной оси и проходящей через

точки A(2; 2; 0) и B(4; 0; 0).

15. Указать особенность в расположении прямой .

16. Найти проекцию точки М(3;1;-1) на плоскость x + 2y + 3z – 30 = 0.

ВАРИАНТ 22

1. 2. , ,

3. , 4.

5. =

6. 7. 8.

9. ={6; 5; -14}, ={1; 1; 4}, ={0; -3; 2} и ={2; 1; -1}

10. Вычислить проекцию вектора на направление вектора , где

А(7; 3; -2), В(8; 2; -2).

11. Раскрыть скобки и упростить выражение .

12. Проверить, будут ли компланарны векторы , ,

?

13. Вершины треугольника А(-3; 3), В(5; 1), С(6; -2). Составить уравнения:

а) медианы, проведенной из вершины С;

б) высоты, опущенной из вершины А на сторону BC.

14. Найти угол между плоскостями x – 2y + 2z – 8 = 0 и x + z – 6 = 0.

15. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М(-1; 2; 3) на

ось .

16. Через точку М(1;-1; 2) провести плоскость так, чтобы она была параллельна

прямым и .

ВАРИАНТ 23

1. 2. , ,

3. , 4. 5.

6. 7.

8.

9. ={-15; 5; 6}, ={0; 5; 1}, ={3; 2; -1} и {-1; 1; 0}

10. Заданы точки А(-2; 4; 0), В(1; 3; -5) и С(0; -1; 1) и вектор .

Вычислить скалярное произведение векторов () и ).

11. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах

и .

12. Какую тройку (левую или правую) образуют векторы , и ,

если А(1; 1; -1), В(2; 3; 1), С(3; 2; 1) и D(5; 9; 8).

13. Найти уравнение прямой, проходящей через точку M(1; -4) и

a) параллельной прямой 2x – 3y = 1;

б) перпендикулярной прямой 5x – 7y + 3 = 0.

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M(-1; -1; 2) и

перпендикулярной к плоскостям x – 2y + z – 4 = 0 и x + 2y - 2z + 4 = 0.

15. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M(-1; 3; 2)

параллельно оси .

16. Найти проекцию точки A(2; 3; 4) на прямую x = y = z.

ВАРИАНТ 24

1. 2. , ,

3. , 4. 5. =

6. 7. 8.

9. ={8; 9; 4}, ={1; 0; 1}, ={0; -2; 1} и {1; 3; 0}

10. Найти работу силы на перемещении , если , ,

.

11. Заданы точки А(0; 2; 0), В(3; 0; -4), С(2; 1; 1) и D(-1; -1; -1). Вычислить

векторное произведение векторов () и .

12. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах , , .

13. Даны уравнения двух смежных сторон параллелограмма: x - y -1 = 0;

x – 2y = 0 и точка пересечения его диагоналей М(3; -1). Найти уравнения

двух других сторон параллелограмма.

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось и точку

M(2; -4; 3).

15. Найти угол между прямыми: и .

16. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую

и точку M(3; 4; 0).

ВАРИАНТ 25

1. 2. , ,

3. , 4. 5.

6. 7. 8.

9. ={23; -14; -30}, ={2; 1; 0}, ={1; -1; 0} и {-3; 2; 5}

10. Определить угол между векторами и .

11. Найти вектор , зная, что он удовлетворяет условию и

перпендикулярен векторам и .

12. Найти объём тетраэдра, построенного на векторах ,

и .

13. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку М(-2; 6) и

составляющей с осью угол, вдвое меньший угла, который составляет с

осью прямая y – 3x + 5 = 0.

14. Написать уравнение плоскости, параллельной оси и проходящей через

точки А(0; 1; 3) и В(2; 4; 5).

15. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку

М(1; 2; -3) параллельно прямой: .

16. При каких значениях и прямая лежит в плоскости

x + 2y – z + 1 = 0.

ВАРИАНТ 26

1. 2. , ,

3. , 4. 5. =

6. 7. 8.

9. ={3; 1; 3}, ={2; 1; 0}, ={1; 0; 1} и {4; 2; 1}

10. Найти скалярное произведение векторов и , если

, и угол между векторами и равен .

11. Вычислить площадь треугольника с вершинами A(1; 1; 1), B(2; 3; 4) и

C(4; 3; 2).

12. Найти объём тетраэдра, построенного на векторах , ,

.

13. Вершины треугольника A(1; 4), B(2; 5), C(5; -2). Найдите точку пересечения

стороны АВ с перпендикуляром, восстановленным из середины стороны АС.

14. Даны точки А(1; 3; -2) и В(7; -4; 4). Через точку В провести плоскость,

перпендикулярную к отрезку АВ.

15. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(-4; 3; 0) и

параллельной прямой .

16. При каких значениях коэффициентов и плоскость x + y – 2z + 1 = 0

перпендикулярна прямой ?

ВАРИАНТ 27

1. 2. , ,

3. , 4.

5.

6. 7. 8.

9. ={-1; 7; 0}, ={0; 3; 1}, ={1; -1; 2} и {2; -1; 0}.

10. Найти угол между векторами и , если A(3; 3; -1), B(5; 1; -2) и

C(4; 1; 1).

11. А(1; 0; -3), B(-2; 1; -1), C(2; -1; 0) и D(3; -3; 3). Найти векторное

произведение векторов и .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: