Вычисление определителя и обратной матрицы

Метод исключения Гаусса дает эффективный способ вычисления определителя матрицы В самом деле, поскольку в прямом ходе мы осуществляем разложение исходной матрицы на произведение верхне- и нижне- треугольных матриц, определитель равен произведению полученных диагональных элементов:

(1.8)

где p – число перестановок, осуществляемых при выборе ведущего элемента (см. ниже).

Определитель нашей тестовой системы (1.7) равен . Необходимо составить и отладить программу вычисления определителя.

Вычисление обратной матрицы, исходя из её определения , можно свести к решению n систем линейных уравнений вида:

(1.9)

где

…; ; (1.10)

столбцы обратной матрицы

…; (1.11)

единичные векторы правой части.

Специфика решения задачи (1.11) состоит в том что матрица коэффициентов у всех систем одинакова, меняется лишь правая часть системы. Поэтому приведение матрицы к верхнетреугольному виду осуществляется только один раз. Общее число операций в связи с этим только в три раза будет больше, по сравнению с решением n систем уравнений.

Приведем ещё один алгоритм нахождения обратной матрицы, известный как метод Жордана-Гаусса, позволяющий вообще обойтись без обратного прохода. Для его реализации вводится расширенная матрица , путем дополнения матрицы единичной:

, (1.12)

и далее над этой матрицей произвести операции прямого хода. Такая модификация алгоритма Гаусса, позволяет получить матрицу:

, (1.13)

в которой элементы второй её половины – элементы обратной матрицы

Обратная матрица для нашего теста (1.7) равна:

(1.14)

Вычисление определителя и обратной матрицы в пакете Excel проводится аналогично как и решение СЛАУ методом Гаусса.

В пакете Mathcad для вычисления определителя и обратной матрицы необходимо использовать панель инструментов Матрицы.

Требуется написать и отладить программу вычисления обратной матрицы двумя изложенными здесь методами. В качестве теста необходимо проверить, что произведение исходной матрицы на обратную должно давать единичную матрицу. Составить необходимые процедуры.

Рекомендуется перед составлением требуемых процедур провести вычисление определителей и обратных матриц вручную. Это позволит хорошо разобраться в алгоритме, и тогда значительно меньше времени Вы потратите на отладку и тестирование программы.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: