Действия над приближенными числами

Компьютер оперирует с приближенными значениями вещественных чисел. Мерой точности приближенных чисел является погрешность. Различают абсолютную и относительную погрешности. Абсолютная погрешность некоторого числа равна разности между его истинным значением x и приближенным значением a:

(6.9)

Отношение абсолютной погрешности приближенного числа к его модулю

(6.10)

называют относительной погрешностью. Обычно истинное значение величины x неизвестно, поэтому используют верхнюю оценку модуля абсолютной погрешности.

При вычислениях на компьютере экономнее числа не округлять по известным правилам, а просто отбрасывать цифры, выходящие за разрядную сетку. Следовательно, возрастает погрешность результата выполнения такой операции.

Оценка абсолютной погрешности для функции нескольких аргументов может быть сделана по формулам:

(6.11)

где a,b,c – приближенные значения аргументов x,y,z; - их абсолютные погрешности, тогда оценка относительной погрешности:

. (6.12)

Используя формулы (6.11) и (6.12) не трудно получить следующие формулы для оценки погрешностей при выполнении операций над приближенными числами:

(6.13)

Относительная погрешность разности двух чисел

(6.14)

При она может быть очень большой. Поэтому при написании программ следует избегать выражений, в которых происходит вычитание близких чисел. Теперь должны быть понятны трудности, возникающие при составлении алгоритмов чиленного дифференцирования.

Вычислим значения первой производной функции в точке x = 1:

Представим данные вычисления в пакете Excel. Значения функции представим в сеточном виде для более удобного их применения.

Таблица 6.1. Значение функции

По формуле значение первой производной функции равно 2,719641423.

По формуле значение первой производной равно 2,718282282

По формуле значение первой производной функции равно 2,718281828

Таким образом, можно сделать вывод, что чем выше точность расчетов, тем ближе значение к истинному.

Представим данные вычисления в пакете MathCAD.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: