ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Метод простых итераций. Этот метод заключается в замене уравнения (3.1) эквивалентным ему уравнением видаЭтот метод заключается в замене уравнения (3.1) эквивалентным ему уравнением вида . (3.2) После этого строится итерационный процесс (3.3) при некотором заданном значении . Для приведения выражения (3.1) к требуемому виду (3.2) можно воспользоваться простейшим приемом: Если в выражении (3.2) положить , можно получить стандартный вид итерационного процесса для поиска корней нелинейного уравнения: . Пример 3.1. Решим уравнение cos(x) - x = 0. Представим это уравнение в виде . Результаты расчетов приведены в табл. 3.1. Ход итерационного процесса отражен на рис. 3.3. Таблица 3.1 Результаты итерационного вычисления корня уравнения cos(x) - x = 0
Корень уравнения (с абсолютной погрешностью не более ) равен 0,739085133.
Рис. 3.3. Поиск корня нелинейного уравнения cos(x) - x = 0 Рассмотрим отрезок длиной 2r с центром в точке a: . Теорема 3.1. Если функция на отрезке А удовлетворяет условию Липшица[1] с константой 0 < С < 1, причем , (3.4) то уравнение (3.2) имеет на отрезке А единственное решение , метод простой итерации сходится к при любом и имеет место оценка . (3.5) Доказательство. Докажем “по индукции”, что определяемые в соответствии с формулой (3.2) величины . по условию теоремы. Пусть ; покажем, что и . В силу имеем то есть . Теперь оценим разность получаемых решений для произвольного n: . Отсюда получаем . Для двух произвольных значений (для определенности положим p > q) на основании этого соотношения имеем
При выводе последнего соотношения использована формула для суммы членов геометрической прогрессии со знаменателем С, а также условие, что 0 < C < 1, и тем более . Очевидно, что при имеет место , и в соответствии с признаком Больцано - Коши . Переходя к пределу в соотношении , в силу непрерывности функции получаем: , то есть - решение уравнения (3.2). Теперь покажем, что получаемое решение единственно. В самом деле, пусть - два различных решения уравнения (3.2). Тогда , что может иметь место при условии 0 < C < 1 лишь в случае . Оценим погрешность метода простой итерации после выполнения N итераций: , откуда получаем: . Что и требовалось доказать. Следствие 1. Если , а также имеет место соотношение , то уравнение (3.2) имеет единственное решение, метод простых итераций сходится и имеет место оценка (3.5). Действительно, согласно теореме Лагранжа, , то есть в качестве константы условия Липшица можно принять . В этом случае условия теоремы (3.1) выполняются и все ее утверждения имеют место. Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|