Метод простых итераций. Этот метод заключается в замене уравнения (3.1) эквивалентным ему уравнением вида

Этот метод заключается в замене уравнения (3.1) эквивалентным ему уравнением вида . (3.2)

После этого строится итерационный процесс (3.3)

при некотором заданном значении . Для приведения выражения (3.1) к требуемому виду (3.2) можно воспользоваться простейшим приемом:

Если в выражении (3.2) положить , можно получить стандартный вид итерационного процесса для поиска корней нелинейного уравнения:

.

Пример 3.1. Решим уравнение cos(x) - x = 0. Представим это уравнение в виде

.

Результаты расчетов приведены в табл. 3.1. Ход итерационного процесса отражен на рис. 3.3. Таблица 3.1

Результаты итерационного вычисления корня уравнения cos(x) - x = 0

Корень уравнения (с абсолютной погрешностью не более ) равен 0,739085133.

Рис. 3.3. Поиск корня нелинейного уравнения cos(x) - x = 0

Рассмотрим отрезок длиной 2r с центром в точке a: .

Теорема 3.1. Если функция на отрезке А удовлетворяет условию Липшица[1] с константой 0 < С < 1, причем

, (3.4)

то уравнение (3.2) имеет на отрезке А единственное решение , метод простой итерации сходится к при любом и имеет место оценка

. (3.5)

Доказательство.

Докажем “по индукции”, что определяемые в соответствии с формулой (3.2) величины . по условию теоремы.

Пусть ; покажем, что и .

В силу имеем

то есть .

Теперь оценим разность получаемых решений для произвольного n:

.

Отсюда получаем

.

Для двух произвольных значений (для определенности положим p > q) на основании этого соотношения имеем

При выводе последнего соотношения использована формула для суммы членов геометрической прогрессии со знаменателем С, а также условие, что 0 < C < 1, и тем более .

Очевидно, что при имеет место

,

и в соответствии с признаком Больцано - Коши

.

Переходя к пределу в соотношении , в силу непрерывности функции получаем:

,

то есть - решение уравнения (3.2).

Теперь покажем, что получаемое решение единственно. В самом деле, пусть - два различных решения уравнения (3.2). Тогда

,

что может иметь место при условии 0 < C < 1 лишь в случае .

Оценим погрешность метода простой итерации после выполнения N итераций:

,

откуда получаем:

.

Что и требовалось доказать.

Следствие 1. Если , а также имеет место соотношение

,

то уравнение (3.2) имеет единственное решение, метод простых итераций сходится и имеет место оценка (3.5).

Действительно, согласно теореме Лагранжа,

,

то есть в качестве константы условия Липшица можно принять

.

В этом случае условия теоремы (3.1) выполняются и все ее утверждения имеют место.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: