![]() ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Метод простых итерацийИз выражения (3.10) можно получить систему линейных алгебраических уравнений относительно искомых неизвестных:
В частном случае стационарного итерационного метода, когда
Иначе говоря, исходная итерационная процедура сводится к схеме метода простых итераций:
Вектор Оператор F является сжимающим на множестве
Теорема 3.3. Пусть оператор F определен на множестве
Тогда в А оператор F имеет единственную неподвижную точку
Доказательство этой теоремы изложено в книгах [4, 9]. Метод Ньютона Как и ранее, выберем в окрестности решения
где С учетом того, что
В матричной записи последнее соотношение имеет вид:
где вид матрицы
Соотношение (3.12) позволяет построить вычислительный итерационный алгоритм:
Теорема 3.4. Пусть выполнены условия: 1. Оператор F(X) определен в замкнутом шаре 2.
3. Для начального приближения
4. Величины M, D, S удовлетворяют условию
5. Для числа r верно неравенство
Тогда: - в заданном шаре радиуса r уравнение F(X) = 0 имеет решение; - в вычислительном процессе Ньютона (3.12) приближение - для приближения
где
Доказательство теоремы 3.4 приведено в книге [4]. В качестве модификации метода Ньютона (3.12) может рассматриваться вариант
при котором матрица Нелинейный вариант метода Якоби Для системы нелинейных уравнений вида итерационный процесс строится так, что из каждого уравнения системы определяется значение только одной неизвестной
При этом определение искомой величины Нелинейный вариант метода Зейделя В отличие от метода Якоби при определении неизвестной
Пример 3.4. Решить систему нелинейных алгебраических уравнений Решение этой системы нелинейных уравнений с погрешностью где Воспользуемся методом Ньютона для отыскания корней уравнений этой системы. Представим итерационный процесс Ньютона в форме:
Теперь на каждом итерационном шаге необходимо решать полученную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных В явной форме решение полученной системы имеет вид Результаты расчетов приведены в табл. 3.4.
Таблица 3.4 Решение методом Ньютона системы нелинейных уравнений из примера 3.4
Пусть функция y(x) известна лишь в узлах некоторой сетки
Пусть функция j(x) определяется следующим образом:
где Учитывая формулу (4.1), получаем
систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения Для существования единственного решения системы алгебраических уравнений (4.3) требуется, чтобы главный определитель был отличен от нуля, то есть Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|