![]() ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Конечно-разностная аппроксимацияПусть на отрезке [a, b] введена сетка с шагом
В произвольной точке этой сетки приближенное значение производной некоторой функции u(x) можно представить несколькими способами:
Рис. 6.1. Схема численного дифференцирования
Вполне очевидно, что эти формулы по-разному, то есть с различной степенью точности, представляют значение производной в рассматриваемой точке. Для оценки получаемых погрешностей воспользуемся разложениями рассматриваемой функции в ряды Тейлора вблизи заданной точки xi :
Оценим погрешность представления величиной Полученный результат свидетельствует о том, что погрешность аппроксимации первой производной Оценим погрешность аппроксимации величиной Видно, что в этом случае также имеет место первый порядок аппроксимации. Аналогично поступим для оценки погрешности формулы В последнем случае получили уже второй порядок аппроксимации. Это означает, что из трех выражений для аппроксимации производной последний вариант обеспечивает наименьшую погрешность. Вполне очевидно, что в любом из рассмотренных случаев приближение производной ее разностным аналогом тем точнее, чем меньше шаг h выбранной сетки. Вместе с тем следует иметь в виду, что уменьшение шага h приводит к возрастанию погрешности вычислений. В самом деле, пусть вместо точных значений вычисляется также с ошибкой
Очевидно, следует потребовать, чтобы погрешность округления не превышала погрешности аппроксимации при записи разностного аналога:
где Отсюда следует
Для получения приближенного значения производной можно воспользоваться рассмотренными ранее способами аппроксимации значения функции. Идея заключается в том, что сложная функция заменяется вблизи заданной точки некоторым полиномом, для которого и определяется значение производной. В частности, для трех точек Определим для построенного полинома производные:
Для выбранной точки
Очевидно, что выражение В частном случае постоянного шага сетки
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|