Сходимость интерполяционного процесса

Множество точек назовем сеткой на отрезке [a, b] и обозначим . Рассмотрим последовательность сеток Построим на отрезке [a,b] последовательность полиномов , аппроксимирующих с помощью сеток функцию y(x).

Интерполяционный процесс сходится в точке , если существует предел (определение поточечной сходимости).

Интерполяционный процесс сходится равномерно на отрезке [a, b], если

.

Теорема 4.1 (Фабера). Какова бы ни была последовательность сеток , найдется непрерывная на [a,b] функция y(x) такая, что последовательность интерполяционных полиномов не сходится к y(x) равномерно на этом отрезке.

На рис. 4.1 приведен пример аппроксимации непрерывной функции f(x) = |x| на последовательности сеток с равноотстоящими узлами.

Рис. 4.1. Аппроксимация на отрезке [-1, 1] функции f(x) = |x| полиномами P_n, построенными с использованием равномерных сеток

На рис. 4.2 представлен график погрешности аппроксимации функции f(x) = |x| полиномамм на равномерных сетках в зависимости от числа отрезков сеточной области.

Рис. 4.2. Погрешность аппроксимация на отрезке [-1, 1] функции f(x) = |x| в зависимости от числа отрезков равномерной сетки.

Теорема 4.2. Если функция y(x) непрерывна на отрезке [a,b], то найдется такая последовательность сеток, для которой интерполяционный процесс сходится равномерно на этом отрезке.

На рис. 4.3 приведен пример аппроксимации непрерывной функции f(x) = |x| на последовательности неравномерных (чебышевских) сеток. На рис. 4.4 представлен график погрешности аппроксимации функции f(x) = |x| полиномом P_n на чебышевской сетке в зависимости от числа отрезков сеточной области.

Рис. 4.3. Аппроксимация на отрезке [-1, 1] функции f(x) = |x| полиномами P_n, построенными с использованием чебышёвских сеток

Сплайн - способ аппроксимации функции, заданной таблично, с помощью набора кусочно-полиномиальных зависимостей. Исторически понятие сплайна связывают с гибкой линейкой, применяемой в чертежных работах. Из курса механики деформируемых стержней известно уравнение изгиба упругого стержня:

,

где Е - модуль упругости, I - момент инерции поперечного сечения, u - функция прогиба, q(x) - распределенная нагрузка. В случае отсутствия нагрузки получаем однородное уравнение

,

имеющее решение, представляемое кубическим полиномом

,

- постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий. Иными словами, гибкая линейка, помещенная на плоскости, плавно (то есть без изломов) изогнется так, что ее форму между любыми двумя соседними точками можно описать кубической параболой. Поэтому традиционно под сплайном понимают интерполяцию табличной функции с помощью отрезков кубического полинома.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: