Метод Рунге-Кутты для системы дифференциальных уравнений

Рассмотрим наиболее распространенную схему четвертого порядка точности.

Введем матрицы

,

Рис. 2.6. Зависимость отклонения фазовой траектории от единичной окружности в зависимости от значения аргумента

,

,

,

.

1. Граничная задача. Сеточный метод.

Будем считать, что линейная граничная задача (3.29) - (3.30) имеет единственное решение, непрерывное на отрезке [ a, b ] вместе с производными до четвертого порядка включительно.

Идея метода сеток заключается в следующем.

1. Область [ a, b ] задания дифференциального уравнения заменяется дискретной сеточной областью

.

2. Граничная задача (3.29) - (3.30) заменяется сеточной задачей, то есть производные в дифференциальном уравнении заменяются разностными аналогами; в результате этого исходная задача заменяется системой алгебраических уравнений.

3. Решение системы алгебраических уравнений каким-либо численным методом позволяет определить сеточные (узловые) значения искомой функции.

Воспользуемся аппроксимацией первой и второй производных:

,

и запишем разностный аналог дифференциального уравнения (3.29):

. (3.42)

Очевидно, что такие соотношения можно записать для всех внутренних узлов сетки , то есть для . Поскольку в уравнениях (3.42) содержится (n + 1) неизвестное значение искомой функции, необходимо дополнить эту систему еще двумя алгебраическими уравнениями, получаемыми при замене граничных условий (3.30) разностными аналогами:

(3.43)

Теперь система (n + 1) уравнений содержит ровно (n + 1) неизвестную величину.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: