Оценка порядка аппроксимации

⇐ Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 2021

Разложим решение задачи (3.29) - (3.30) в ряды Тейлора вблизи точки :

Подставим эти выражения в разностный аналог (3.42) уравнения (3.29):

Первое слагаемое в этом выражении совпадает с исходным уравнением (3.29) и поэтому обращается в нуль. Погрешность аппроксимации

(3.47)

уравнения (3.29) разностным аналогом (3.42) имеет второй порядок.

Метод прогонки для решения сеточной задачи.

Запишем сеточную задачу (3.42) - (3.43) с учетом введенных ранее обозначений:

(3.48)

Введем соотношение

, (3.49)

использующее дополнительные переменные . С помощью (3.49) запишем выражение для :

Подставим два последних соотношения в уравнения (3.48):

которое будет выполняться при любом наборе значений , если имеют место равенства

Это позволяет получить рекуррентные соотношения:

(3.50)

Прямой ход метода прогонки выполняется в следующей последовательности действий. Запишем выражение (3.49) для k = 0

и сравним с формулой

сеточной задачи (3.48).

Отсюда можно вычислить исходные значения

(3.51)

Далее используются формулы (3.50) для вычисления всех остальных величин .

Обратный ход метода прогонки. Формулу (3.49) при k = (n - 1), то есть , подставляем в последнее выражение системы (3.48):

Теперь, используя соотношение (3.49), можно определить все искомые величины .

Метод прогонки можно использовать в тех случаях, когда в приведенных формулах знаменатели дробей не обращаются в нули. В частности, можно избежать равенства нулю выражения () в формулах (3.51) подбором соответствующего значения шага интегрирования h.