Метод Эйлера для системы дифференциальных уравнений

Рассмотрим первое уравнение системы (2.18):

.

Разложим решение этого уравнения в ряд Тэйлора вблизи точки :

.

Схема Эйлера для этого уравнения принимает вид:

.

Для всей системы уравнений (2.18) схема метода Эйлера выглядит аналогично:

.

Пример 2.7. Решим дифференциальное уравнение .

Точным решением уравнения c заданными начальными условиями является функция . Первая производная решения равна .

На фазовой плоскости (то есть в системе координат ) решение представляет собой окружность единичного радиуса, поскольку . Этот частный факт можно использовать для оценки погрешности получаемого численного решения задачи.

Введем обозначения:

.

Теперь исходную задачу можно представить в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка с соответсвующими начальными условиями:

,

.

Разностная схема для этой системы уравнений записывается следующим образом:

На рис. 2.4 приведен график численного решения y(x), полученный при шаге интегрирования h = 0.1. Поведение полученного решения на фазовой плоскости представлено на рис. 2.5. На рис. 2.6 показана зависимость погрешности численного решения, определяемой как отклонение от единичной окружности, в зависимости от значения аргумента.

Рис. 2.4. Численное решение методом Эйлера уравнения с шагом интегрирования h = 0.1.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: