![]() ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Метод половинного деления. Метод основан на одной из теорем математического анализаМетод основан на одной из теорем математического анализа. Согласно [10], функция, непрерывная в замкнутом интервале и принимающая на концах этого интервала значения разных знаков, хотя бы один раз обращается в нуль внутри интервала. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке
один из концов отрезка является искомым корнем уравнения. Пусть на концах отрезка значения функции имеют разные знаки, то есть имеет место соотношение
Вычисляется значение аргумента в середине отрезка, Если имеет место соотношение
Рис. 3.1. Схема метода половинного деления
Далее, в зависимости от ситуации, отрезок вновь делится пополам, и так далее. Для прекращения вычислительной процедуры применяются различные критерии: - если функция достаточно “пологая”, имеет смысл использовать условие (рис.3.2a)
- если функция “круто” меняет свое значение, целесообразно применять условие (рис.3.2b)
Рис. 3.2. Частные случаи поиска корня нелинейного уравнения
В случае, если заранее неизвестен характер “поведения” функции, имеет смысл использовать одновременно оба условия для прекращения итерационного процесса.
Для поиска корней уравнения (3.1) в окрестности решения
Отсюда следует приближенное равенство
которое с учетом позволяет получить выражение приводящее к итерационному процессу следующего вида: Очевидно, что метод Ньютона можно рассматривать как вариант метода простых итераций, при условии Геометрическая иллюстрация итерационного процесса метода Ньютона приведена на рис. 3.4, из которого понятно, что каждое следующее приближение может быть определено из геометрических построений:
Пример 3.2. Требуется определить корни уравнения Согласно рассмотренному методу Ньютона строится итерационная процедура
Поскольку
Таким образом, применение процедуры метода Ньютона к заданному уравнению приводит к вычислительному процессу
Для а=2 “точное” решение
Таблица 3.2 Последовательность получения приближенного решения уравнения
Теорема 3.2. Пусть выполнены следующие предположения: - - первая производная - вторая производная - константа Тогда, если
Доказательство. Для оценки погрешности решения воспользуемся формулой Тейлора для функции f(x) возле точки
В силу
С другой стороны, согласно методу Ньютона,
Отсюда,
то есть имеет место квадратичная сходимость. Пусть
то есть оценка (3.7) выполнена для N=1. Допустим, что формула (3.7) верна для произвольного q. С учетом условия С<1, имеем
то есть
Из соотношения (3.8) получаем Согласно (3.7)
С учетом этого, из предыдущего выражения следует: Но это как раз и означает, что формула (3.7) справедлива при N = q+1. В силу C<1 из выражения (3.7) следует сходимость метода Ньютона:
что и требовалось доказать. Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|