Двойной интеграл И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

ЛЕКЦИЯ 5

Рассмотрим двойной интеграл от неотрицательной непрерывной функции по измеримому множеству . Множество называют областью интегрирования, или областью, на которую распространен двойной интеграл. Можно доказать, что значением этого интеграла является неотрицательное число , равное объему цилиндроида − тела, ограниченного сверху графиком функции , снизу − множеством в координатной плоскости с боков − цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси (см. рис. 1):

(1)

Эту формулу используют как при составлении двойного интеграла для вычисления объема цилиндроида, так и при вычислении двойного интеграла, который можно интерпретировать как выражение, описывающее объем цилиндроида.

Пример 1. Вычислите двойной интеграл , где область

□ Данный двойной интеграл существует. Действительно, подынтегральная функция является элементарной функцией, определенной и, следовательно, непрерывной в заданной области − круге с центром в начале координат и радиусом . Круг − измеримое множество, так как граница круга − окружность, являющаяся непрерывной кривой и имеющая меру нуль. Круг является замкнутым ограниченным множеством. Непрерывная функция на замкнутом ограниченном измеримом множестве интегрируема. Значит, поставленная задача имеет решение.

Вычислим данный интеграл, используя его геометрический смысл. Подынтегральная функция положительна в . Следовательно, значение интеграла − положительное число, равное объему цилиндроида. Изображение этого цилиндроида приведено на рис. 1. В его основании − круг радиуса в плоскости . Уравнение верхней граничной поверхности описывает верхнюю полусферу радиуса с центром в точке . Боковая поверхность – это цилиндрическая поверхность: Это тело можно представить в виде объединения кругового цилиндра с радиусом основания и высотой, равными , и полушара радиуса (полушар покоится на цилиндре). Применяем формулы геометрии для вычисления суммы объемов цилиндра и полушара и получаем: где

■

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: