Плоская электромагнитная волна

Для того, чтобы представить структуру электрического и магнитного полей в электромагнитной волне, исследуем с помощью уравнений Максвелла простейшую – плоскую электромагнитную волну.

Направим ось Ох перпендикулярно волновым поверхностям. Тогда векторы

и , а значит и их компоненты, не будут зависеть от координат z и y. Поэтому производные от векторов поля по этим координатам равны нулю. С учетом этого запишем уравнение Максвелла (22.2) в проекциях на оси координат:

на ось Ох ; (22.13)

на ось Оу (22.14)

на ось Оz ; (22.15)

Уравнение (22.4) в проекциях на оси координат дает следующие три соотношения:

на ось Ох ; (22.16)

на ось Оу (22.17)

на ось Оz ; (22.18)

Из уравнения (22.5) следует:

, (22.19)

а из уравнения (22.3) -

(22.20)

Соотношения (22.13) и (22.19) показывают, что составляющая не зависит ни от х, ни от . Аналогично соотношения (22.16) и (22.20) указывают на независимость от х и составляющей поля волны . Поэтому ненулевые составляющие и могут быть только постоянными во времени однородными полями. Но к электромагнитной волне, в которой переменные во времени и пространстве составляющие порождают друг друга, постоянные поля не могут иметь никакого отношения и могут быть только некими внешними полями. Следовательно, в плоской электромагнитной волне составляющие и равны нулю, а значит, она является поперечной. Поперечность в данном случае означает, что в плоской ЭМВ

Для дальнейшего анализа объединим в пары уравнения (22.15), (22.17) и (22.14), (22.18) в соответствии с составляющими, которые они связывают:

, (22.21)

(22.22)

Допустим, что в начальный момент было создано электрическое поле вдоль оси Оу - . Из (22.21) следует, что это поле порождает е67апнаеакмагнитное поле направленное по оси Oz, которое, в свою очередь, может создать электрическое поле только вдоль оси Оу. Составляющие полей из уравнений (22.22) при этом возникнуть не могут. Аналогиччная ситуация имеет место и для уравнений (22.22). Забегая вперед, отметим, что указанная особенность соотношений (22.21) и (22.22) отражает тот факт, что каждая из пар соответствует независимой электромагнитной волне, и эти две волны отличаются ориентацией в пространстве векторов поля – поляризацией волн. Поэтому нам достаточно проанализировать только одну пару уравнений – например, (22.21).

Продифференцируем первое уравнение в (22.20) по координате х и в правой части поменяем порядок дифференцирования и подставим значение из второго уравнения:

(22.23)

Такие же преобразования, но проведенные начиная со второго уравнения (22.21) приводят к уравнению для магнитной составляющей:

(22.24)

(22.23) и (22.24) являются частными случаями волновых уравнений (22.9) (22.10).

Простейшими решениями уравнений (22.23) и (22.24) (это можно проверить непосредственной подстановкой) являются функции:

, (22.25)

. (22.26)

Подставив эти решения в волновые уравнения (22.23) и (22.24), придем к соотношениям:

, (22.27)

. (22.28)

Для выполнения этих соотношений необходимо, чтобы совпадали амплитуды и фазы колебаний, записанных в левых и правых частях. Поэтому следует положить

. (22.29)

Таким образом, колебания электрической и магнитной составляющих в электромагнитной волне происходят синфазно.

Перемножив коэффициенты при синусах в (22.27), (22.28), получим соотноше­ние: