ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
ПРОИЗВОДНАЯ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ
Рассмотрим функцию трех переменных определенную в некоторой окрестности точки и дифференцируемую в этой точке. Функцию нескольких переменных можно дифференцировать не только по независимым переменным, но и по любому направлению, в частности, заданному вектором единичной длины (единичным вектором). Проведем через точку полупрямую в направлении единичного вектора где − углы, которые вектор составляет с осями соответственно, Возьмем на полупрямой точку и подсчитаем приращение функции по направлению Производной скалярного поля по направлению в точке называется предел отношения приращения функции по направлению к расстоянию при стремлении расстояния к нулю: Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору , имеют вид [6]: При эти уравнения описывают изображенную на рисунке 3 полупрямую, исходящую из точки , причем точка с координатами находится от точки на расстоянии С учетом этих обстоятельств производная по направлению равна полной производной сложной функции в точке Применив правило дифференцирования к этой сложной функции и подставив получим формулу для производной по направлению: (1) В этой формуле множители являются координатами вектора , множители − координатами вектора . Тогда правая часть равна скалярному произведению векторов и [6]: так как скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат векторов: . и Отсюда следует, что производная функции по направлению в точке равна величине проекции градиента на единичный вектор или , (2) где − угол между градиентом и вектором . Для функции двух переменных производная в направлении единичного вектора вычисляется по формуле: Понятие производной по направлению обобщается на функции произвольного числа переменных. Пример 3. Вычислить производную функции в точке в направлении вектора где □ Находим компоненты формулы (5.15): в точке : Поэтому . Вектор Единичный вектор заданного направления имеет координаты: Вычисляем производную по направлению по формуле (1): ■ Производная по направлению в данной точке равна скорости изменения функции в заданном направлении. В этом состоит механический смысл производной по направлению.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|