Приведение системы дифференцированных уравнений для заданной вероятностной модели предприятия.

Рассмотрим решение системы дифференциальных уравнений построенной по вероятностной модели предприятия УП «Проектный институт Гродногипрозем». Данная модель примет вид на рис.1.2.

Рис.1.2. Модель обслуживания заявок в УП «Проектный институт Гродногипрозем».

Где система ― приемная. Обработка поступающих заявок.

Система ― производственный отдел №1.Обслуживаются заявки, поступившие из Гродненского, Щучинского, Берестовикого района.

Система ― производственный отдел №2. Обработка заявок, поступивших из Волковыского, Свислочского, Мостовского района.

Система ― производственный отдел №3. Обработка заявок, поступивших из Слонимского, Зельвенского, Дятловского района.

Система ― производственный отдел №4. Обслуживаются заявки, поступившие из Лидского, Вороновского, Ивьевского, Новогрудского района.

Система ― производственный отдел №5. Обслуживаются заявки, поступившие из Сморгонского, Островецкого, Ошмянского, Корелического района.

Система ― расчетно-сметная группа. В обязанности входит: составление сметы работы, заключение договора с клиентом.

В рассматриваемой модели за единицу времени возьмем одну неделю. Под заявкой в системах будем понимать заявление на услугу предприятия. В системе под заявкой понимается договор заключенный с предприятием и клиентом на оказание услуг предприятия. Под СМО понимаются отделы предприятия, оказывающие услуги населению.

Система обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями описанная в главе 1 пункт 1.2 примет вид:

(1.7)

Определим явную форму уравнений (1.7) в областях линейности их правых частей, тогда приходим к системе (1.6), при :

где Здесь непересекающиеся множества индексов компонент вектора

Причем при фиксированном число всевозможных разбиений множества индексов компонент этого вектора равно Система (1.7) решается в каждой из областей разбиения фазового пространства:

и т.д.

Для нахождения среднего относительного числа заявок необходимо рассмотреть систему (1.7) в области , где она примет вид при :

(1.8)

Исследуем, работу предприятия на интервале времени . Предположим, что интенсивности поступления заявок каждого из типов с учетом времени года описываются функциями вида:

(1.9)

На интервале времени система уравнений (1.8) превращается в систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

(1.10)

Следовательно, на интервале вид системы ДУ аналогичен (1.10), если заменить в ней на Для интервала вид системы ДУ будет аналогичен (1.10), если заменить в ней на Аналогичным образом поступаем и для интервала в ДУ (1.10) заменяем на

Решение системы (1.10) с начальным условием производится в программе Wolfram Mathematica 7.0.

Для того чтобы система (1.10) находилась в области на интервале , необходимо выполнение неравенств:

(1.11)

При изменении интенсивности в момент времени возможны следующие случаи:

1) удовлетворяет неравенствам (1.11), т.е. система остается в области .

2) не удовлетворяет (1.11) – произошел переход другую область.

3) удовлетворяет неравенствам (1.11), т.е. система остается в области .

4) не удовлетворяет (1.11) – произошел переход другую область.

5) удовлетворяет неравенствам (1.11), т.е. система остается в области .

6) не удовлетворяет (1.11) – произошел переход другую область.

.

Для решения поставленной задачи (1.10) на интервале , когда система остается в области . Система уравнений в этом случае будет иметь вид (1.10), если заменить соответственно на . Начальными условиями для нее будут . Для того чтобы система находилась в области на временном интервале , необходимо выполнение условий:

.

Осталось рассмотреть решение задачи (1.10) на интервале , когда система останется в области . Система будет иметь вид (1.10), если заменить соответственно на . Начальными условиями для нее будут . Для того чтобы система находилась в области на временном интервале , необходимо выполнение условий:

.

Решение системы производится в программе Wolfram Mathematica 7.0 [ПРИЛОЖЕНИЕ].

1.4. Нахождение среднего относительного числа заявок на примере УП «Проектный институт Гродногипрозем»

В предприятие поступило за год заявок от физических лиц за 2015 год. В рассматриваемой модели за единицу времени возьмем одну неделю. Функционирование предприятия УП «Проектный институт Гродногипрозем» описывается следующими параметрами:

Исследуя работу предприятия за год, интенсивность поступления заявок каждого из типов с учетом времени года описывается функцией вида (1.9):

На интервале рассматривается работа предприятия за осенний период. За интервал времени берем работу предприятия на зимний период. На интервале рассматривается работа предприятия за весенний период, а под интервалом рассмотрим работу за летний период. Найдем среднее относительное число заявок в области . Для решения системы (1.10) найдем линию обслуживания где количество сотрудников в производственном отделе №2.

Решение системы (1.10) на интервале примет вид на рис. 1.3-1.9:

Рис. 1.3. Среднее число заявок , находящихся на интервале времени

Рис. 1.4. Среднее число заявок первого типа, находящихся на интервале времени

Рис. 1.5. Среднее число заявок второго типа, находящихся на интервале времени

Рис. 1.6. Среднее число заявок третьего типа, находящихся на интервале времени

Рис. 1.7. Среднее число заявок четвертого типа, находящихся на интервале времени

Рис. 1.8. Среднее число заявок пятого типа, находящихся на интервале времени

Рис. 1.9. Среднее число заявок , находящихся на интервале времени

Аналогично решается (1.10) для остальных интервалов времени только заменяется на соответствующее значение для интервала .

ГЛАВА 2. НАХОЖДЕНИЕ ОЖИДАЕМОГО ДОХОДА ЦЕНТРАЛЬНОЙ ЗАМКНУТОЙ СЕТИ ДЛЯ СЛУЧАЯ, КОГДА ДОХОДЫ ОТ ПЕРЕХОДОВ ЗАЯВОК МЕЖДУ СИСТЕМАМИ СЕТИ ЯВЛЯЮТСЯ СВ С ЗАДАННЫМИ МОМЕНТАМИ ПЕРВЫХ ДВУХ ПОРЯДКОВ

2.1. Нахождение ожидаемых доходов в центральной системе

Рассмотрим замкнутую сеть массового обслуживания с разнотипными заявками, которая является вероятностной моделью обслуживания заявок в УП «Проектный институт Гродногипрозем», рис.1.1.

Допустим, что заявка типа требуемой обслуживания, . Системами в данной сети будут отделы предприятия, которые занимаются приемом и обслуживанием заявок граждан Гродненской области. Число линий обслуживания , в системах соответствуют сотрудникам, которые выполняют заявку.

Состояние сети описывается вектором где число заявок находящихся в момент времени в системе .

Заявка при переходе из одной СМО в другую приносит последней системе некоторый случайный доход и соответственно доход первой системы уменьшается на эту случайную величину.

Рассмотрим динамику изменения доходов некоторой системы сети. Обозначим через ее доход в момент времени .

Пусть в начальный момент времени доход системы равен . Доход этой СМО в момент времени можно представить в виде , где -изменение дохода системы на интервале времени . Для нахождения этой величины выпишем условные вероятности событий, которые могут произойти за время , и изменения доходов системы , связанные с этими событиями.

1. С вероятностью заявка из системы перейдет во внешнюю среду, при этом доход системы уменьшится на величину , где - СВ с МО , - функция Хевисайда.

2. С вероятностью заявка перейдет из в систему , при этом доход системы возрастет на величину , а доход системы уменьшается на эту величину, где - СВ с МО , - вероятность перехода заявки из системы в систему .

3. С вероятностью заявка из системы перейдет в систему , при этом доход СМО уменьшится на величину , а доход системы возрастет на эту величину, где - СВ с МО .

4. С вероятностью

на отрезе времени изменение состояния системы не произойдет.[4]

Кроме того, за каждый промежуток времени система увеличивает свой доход на величину , где СВ с МО . Будем также считать, что СВ независимы по отношению к СВ . Очевидно, что . Тогда вышеуказанное примет вид:

(2.1)

При фиксированной реализации процесса , учитывая (2.1), можно записать:

Усредняя по с учетом условий нормировки для изменения ожидаемого дохода системы получаем

Пусть система содержит идентичных линий обслуживания, в каждой из которых время обслуживания заявок распределено по показательному закону с параметром . В этом случае

В качестве аппроксимации среднего значения выражения возьмем , т.е. воспользуемся приближенным равенством

,

где - среднее число заявок (ожидающих и обслуживающихся) в системе в момент времени . С учетом этого равенства поучаем следующее приближенное соотношение:

(2.2)

Введем обозначение . Из (2.1) и (2.2) получаем

Далее, переход к пределу при получим неоднородные линейные ОДУ первого порядка:

(2.3)

Интегрируя данные ОДУ (2.3) при начальных условиях можно найти ожидаемые доходы систем сети по формуле[1]:

(2.4)

2.2. Нахождение ожидаемых доходов в УП «Проектный институт Гродногипрозем»

Распишем(2.4) для сети УП «Проектный институт Гродногипрозем» для центральной системы . С учетом того, что, и , остальные , то формула для нахождения ожидаемого дохода для центральной системы примет вид

Полученные в главе 1 подпункте 1.4 среднее относительное число заявок используем для нахождения дохода. Интенсивность обслуживания заявок в отделах равны

Количество сотрудников в отделах равно .

В табл. 2.1.-2.4. приведен средний доход предприятия от удовлетворения заявок от физических лиц. Отдел расчетно-сметной получает доход в размере млн. бел. руб., когда заключает договор с заказчиком, т.е. при переходе заявки из расчетно-сметной группы во внешнюю среду. Так как основные затраты, связанные с удовлетворением заявки, поступающих из производственных отделов №1-5, заложены в себестоимость продукции – расчетно-сметная группа не несет дополнительных расходов.

Таблица 2.1

Средний доход предприятия за

Используя данные, представленные в табл. 2.1 и программу, разработанную в пакете WolframMathematica [ПРИЛОЖЕНИЕ], получим график ожидаемого дохода для расчетно-сметового отдела при начальных на интервале времени .

Рис. 2.1. График ожидаемого дохода на интервале

Таблица 2.2

Средний доход предприятия за

Используя данные, представленные в табл. 2.2 и программу, разработанную в пакете WolframMathematica, получим график ожидаемого дохода для расчетно-сметового отдела на интервале времени .

Рис. 2.2. График ожидаемого дохода на интервале

Таблица 2.3

Средний доход предприятия за

Используя данные, представленные в табл. 2.3 и программу, разработанную в пакете WolframMathematica, получим график ожидаемого дохода для расчетно-сметового отдела на интервале времени .

Рис. 2.3. График ожидаемого дохода на интервале

Таблица 2.4

Средний доход предприятия за

Используя данные, представленные в табл. 2.4 и программу, разработанную в пакете WolframMathematica, получим график ожидаемого дохода для расчетно-сметового отдела на интервале времени .

Рис. 2.4. График ожидаемого дохода на интервале

Ожидаемый доход и реальный доход за год будет иметь вид рис. 2.5.

Рис. 2.5. График ожидаемого дохода за год

По рис. 2.5. можем сделать вывод, что ожидаемый доход приближен к реальному доход осенью, зимой, весной. Реальный доход в летний период снижается.

ГЛАВА 3. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ОПТИМИЗАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УП «ПРОЕКТНЫЙ ИНСТИТУТ ГРОДНОГИПРОЗЕМ»

3.1. Постановка оптимизационной задачи для УП «Проектный институт Гродногипрозем»

Рассмотрим замкнутую сеть массового обслуживания с разнотипными заявками, которая является вероятностной моделью обслуживания заявок в УП «Проектный институт Гродногипрозем», рис.1.1.

Допустим, что заявка типа требуемой обслуживания, . Системами в данной сети будут отделы предприятия, которые занимаются приемом и обслуживанием заявок граждан Гродненской области. Число линий обслуживания , в системах соответствуют сотрудникам, которые выполняют заявку.

В рассматриваемой модели за единицу времени возьмем одну неделю. Сформулируем оптимизационную задачу для нахождения оптимального числа линий обслуживания в системах сети при максимальном доходе сети в целом.

где максимальное возможное количество линий обслуживаний, затраты на содержание одной заявки в ой СМО (в очереди и на обслуживании), затраты на содержание одной линии обслуживания. Она решена методом полного перебора по , а интегралы в выражениях можно вычислить последовательно применив два раза метод трапеций.

3.2. Решение оптимизационной задачи на примере УП «Проектный институт Гродногипрозем»

Про анализируя данные за год делает вывод, что максимально возможное количество сотрудников в отделах равны

.

Затраты на содержание одной заявки (в очереди и на обслуживание) в отделах составляет , затраты на содержание одного сотрудника в отделах равно млн. бел. руб.

Поскольку на интервалах времени функция принимает различные значения, то оптимальные числа сотрудников предприятия будут различные для этих временных интервалов. Обозначим их для интервалов соответственно.

Из-за того, что среднее относительное число заявок зависит от , то при изменении будет пересчитываться система (1.10). Аналогично будет пересчитываться ожидаемый доход.

Для решения поставленной задачи используем программу разработанную в WolframMathematica 7.0. Листинг программы в приложение. Решение на интервале примет вид:

.

Решение на интервале времени примет вид:

Решение на интервале времени примет вид:

Решение на интервале времени примет вид:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В дипломной работе была построена сетевая вероятностная модель обработки заявок в УП «Проектный институт Гродногипрозем». На основе построенной сетевой вероятностной модели обработки заявок в УП «Проектный институт Гродногипрозем» было построено ОДУ для среднего относительного числа заявок в системе сети. С помощью диффузионной аппроксимации были рассчитали среднее относительное число заявок в системах сети. Нахождение ожидаемого дохода для предприятия, а так же решена оптимизационная задача.

По полученным в работе результатам можно сделать выводы:

1. В модели с разнотипными заявками в качестве периферийных систем выступают приемная и производственные отделы №1-5 предприятия, центральной системой является расчетно-сметовая отдел. В приемной и расчетно-сметовом отделе не различаются типы заявок. В периферийные системы различаются по типу заявки. В данной модели можно отметить, что ожидаемый доход приближен к реальному с осени по весну. Реальный доход в летний период снижается.

2. В третьей главе рассматривается задача оптимизации числа сотрудников на предприятии УП «Проектный институт Гродногипрозем».

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: