Эквивалентность определений

Пусть число является пределом функции в точке по Коши. Выберем произвольную подходящую последовательность , , то есть такую, для которой . Покажем, что является пределом по Гейне.

Зададим произвольное и укажем для него такое , что для всех из условия следует неравенство . В силу того, что , для найдётся такой номер , что будет выполняться неравенство , то есть .

Докажем теперь обратное утверждение: предположим, что по Гейне, и покажем, что число является пределом функции в точке по Коши. Предположим, что это неверно, то есть:. В качестве рассмотрим , а соответствующие значения будем обозначать . Тогда при любом выполняются условия и . Отсюда следует, что последовательность является подходящей, но число не является пределом функции в точке . Получили противоречие.

Примеры

Пример 3.1.

а)

, например

б)

Пример 3.2.

Доказать, что не имеет предела в точке 0.

Вывод: последовательность по Гейне не имеет предела.

27) Критерий Коши существования предела функции в точке.

Теорема 5 (критерий Коши). Для того чтобы функция f, x X, имела в (конечной или бесконечно удаленной) точке x ₀ конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого > 0 существовала такая окрестность U (x ₀) точки x ₀, что для любых x' X U (x ₀) и x" X U (x ₀) выполнялось бы неравенство

| f (x") - f (x')| < .

(6.39)

Докажем необходимость условия (6.39). Пусть f (x) = a R, тогда для любого > 0 существует такая окрестность U (x ₀) точки x ₀, что для каждого x X U (x ₀) справедливо неравенство

| f (x) - a | < /2.

Поэтому если x' X U (x ₀)и x" X U (x ₀), то

| f (x") - f (x')| = |[ f (x") - a ] + [ a - f (x')]| <
< | f (x") - a | + | a - f (x')| < /2 + /2 = .

Докажем достаточность условий (6.39) для существования конечного предела f (x). Пусть произвольно фиксировано > 0; тогда существует такая окрестность U (x ₀), что для всех x' X U (x ₀) и всех
x" X U (x ₀) выполняется неравенство | f (x") - f (x')| < . Возьмем какую-либо последовательность x_n x ₀, x_n X, n = 1, 2,... В силу определения предела последовательности существует такой номер n ₀, что для всех
n > n ₀ имеет место включение x_n U (x ₀), а поскольку x_n X, то и включение x_n X U (x ₀). Тогда для всех номеров n > n ₀ и m > n ₀ будем иметь x_n X U (x ₀), x_m X U (x ₀), и, следовательно, будет выполняться неравенство | f (x_n) - f (x_m)| < . Это означает, что последовательность { f (x_n)} удовлетворяет критерию сходимости Коши для последовательностей и, следовательно, имеет конечный предел.
Таким образом, для любой последовательности x_n x ₀, x_n X, n = 1, 2,..., последовательность { f (x_n)} имеет конечный предел. Отсюда в силу леммы 2 п. 6.4 сразу следует, что функция f имеет в точке x ₀ конечный предел.

Замечание. Сформулируем критерий Коши существования конечного предела функции в терминах неравенств для случая, когда x ₀ - действительное число: функция f, x X, имеет в точке x ₀ R конечный предел тогда и только тогда, когда для любого > 0 существует такое > 0, что для всех точек
x' X, x" X, | x' - x ₀| < , | x" - x ₀| < , выполняется неравенство | f (x") - f (x')| < .

28) Предел суммы, разности, произведения и частного функций.

1)Предел суммы двух функций равен сумме их пределов: .

Доказательство:

Пусть , . Тогда по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции можно записать: и . Следовательно, , где - бесконечно малая функция (по свойству бесконечно малых функций). Тогда по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции можно записать , или .

2) Предел произведения двух функций равен произведению их пределов: .

Доказательство:

Пусть , . Тогда и . Следовательно

,

.

Выражения в скобках, по свойствам бесконечно малых функций, - бесконечно малая функция. Тогда , т.е. .

2) Предел частного двух функций равен пределу делимого, деленного на предел делителя, если предел делителя не равен: .

Доказательство:

Пусть , . Тогда и . Тогда . По свойствам бесконечно малых функций, второе слагаемое – бесконечно малая функция.

Поэтому , т.е.

29) Односторонние пределы функции. Непрерывность функции в точке.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: